Переменный верхний предел суммирования
Оператор суммирования по дискретному аргументу выполняет суммирование для каждого значения дискретного аргумента, который указан в поле под оператором. Возможно при помощи булевых выражений суммировать только до некоторого заданного значения. На Рисунке 3 условие i <= x возвращает значение 1 всякий раз, когда оно истинно, и 0 — всякий раз, когда оно не выполняется. Хотя оператор суммирования все еще суммирует по каждому значению индекса суммирования, те члены, для которых i >x , умножены на 0 и, следовательно, не вносят вклад в сумму.
Обычные операторы суммы (произведения) могут также быть использованы для вычисления суммы и произведения с переменным верхним пределом. Обратите внимание, что верхний предел в этих операторах должен быть целым числом.
Оператор суммирования элементов вектора
Операция суммирования элементов вектора часто встречается в вычислениях. Mathcad имеет специальный оператор для этого. В то время как обычный оператор суммирования суммирует индексированное выражение, векторный оператор суммы вычисляет сумму всех элементов вектора без использования дискретного аргумента.
Чтобы вычислить сумму всех элементов вектора v, определенного где-либо в рабочем документе, выполните следующие действия:
Щёлкните в свободном месте или в поле. Затем нажмите клавиши [Ctrl]4.
Введите имя вектора или выражения, принимающего векторные значения. Mathcad вернет сумму всех элементов вектора. В этом примере используется вектор, приведенный на Рисунке 2.
Оператор производной Mathcad предназначен для нахождения численного значения производной функции в заданной точке. Например, чтобы найти производную x3 по x в точке x = 2, выполните следующее:
Сначала определите точку, в которой необходимо найти производную. Наберите x:2.
Щёлкните ниже определения x. Затем наберите ? .Появляется оператор производной с двумя полями,
Щёлкните на поле в знаменателе и наберите x. Это имя переменной по которой проводится дифференцирование.
Щёлкните на поле справа от d/dx и наберите x^3. Это — выражение, которое нужно дифференцировать.
Нажмите знак =, чтобы увидеть результат.
Рисунок 4: Примеры дифференцирования при помощи Mathcad.
На Рисунке 4 показаны примеры дифференцирования в Mathcad.
От алгоритма вычисления производной, который используется в Mathcad, можно ожидать, что первая производная будет вычислена с точностью 7 или 8 значащих цифр, если точка, в которой ищется производная, удалена от особенностей функции. Точность этого алгоритма уменьшается на одну значащую цифру при каждом увеличении порядка производной.
Необходимо помнить, что результат дифференцирования есть не функция, а число — значение производной в указанной точке переменной дифференцирования. В предыдущем примере производная от x3 не есть выражение 3x2, а значение 3x2, вычисленное в точке x = 2. Информацию по поводу символьного вычисления производных см. в Главе “Символьные вычисления”.
Хотя дифференцирование возвращает только одно число, можно определить одну функцию как производную другой функции. Например:
Вычисление f(x) будет возвращать в численной форме производную g(x) в точке x.
Эта методика может быть использована для вычисления производной функции в последовательности точек. См. пример на Рисунке 5.
Рисунок 5: Вычисление производной функции в последовательности точек.
Рисунок 6: Результаты вычисления производной функции в различных точках, сохраненные как элементы вектора.
Сделаем несколько замечаний относительно численного дифференцирования в Mathcad:
Выражение, которое нужно дифференцировать, может быть вещественным или комплексным.
Переменная дифференцирования должна быть простой неиндексированной переменной. Для вычисления производной в отдельных различных точках — элементах вектора — используйте методику, приведенную на Рисунке 6.