Как использовать найденное решение
Функция Find, которая завершает блок решения уравнений, может быть использована аналогично любой другой функции. Можно произвести с этой функцией следующие три действия:
Можно вывести найденное решение, напечатав выражение вида Find(variable) =. Пример приведен в верхней половине Рисунка 7. Если решаются уравнения с несколькими неизвестными, то можно вывести вектор результатов, введя выражение вида Find(vari1, var2,...) =. Пример того, как это делается для системы двух уравнений с двумя неизвестными, приведен на Рисунке 8.
Можно определить переменную с использованием этой функции. Для этого в конце блока решения уравнений необходимо ввести выражение a := Find(x). Это удобно сделать, если требуется использовать решение системы уравнений в другом месте рабочего документа. Как только переменная a определена таким образом, она сразу же принимает значение искомого корня. Пример, иллюстрирующий такую возможность, приведен в нижней половине Рисунка 7. Если функция Find возвращает вектор значений, можно ввести выражение variable := Find(vari1, var2,...). После такого определения переменная становится вектором (вместо скаляра). Можно также определить переменные, как показано на Рисунке 6.
Используя Find, можно определить другую функцию. Для этого необходимо закончить блок решения уравнений выражением типа f(a, b, c,...) := Find(x, y, z,...). Эта конструкция удобна при многократном решении системы уравнений для различных значений некоторых параметров a, b, с, . . ., непосредственно входящих в систему уравнений. Эта методика описана в разделе “Как лучше искать корни” ниже в этой главе.
Рисунок 7: Можно отобразить результат, полученный в блоке решения уравнений, непосредственно либо присвоить его переменной для дальнейшего использования.
Рисунок 8: При решении системы уравнений с двумя или большим числом неизвестных функция Find возвращает вектор, имеющий число компонент, равное числу неизвестных.
Рисунок 9: Различные начальные приближения приводят к различным решениям. Получено решение, отличное от решения, приведенного на Рисунке 8.
Рисунок 10: Добавление ограничений позволяет найти другое решение.
Mathcad возвращает в блоке решения уравнений только одно решение. Однако система уравнений может иметь несколько различных решений. Если одно из решений найдено, то для поиска других решений можно использовать различные начальные приближения либо дополнительные ограничения в виде неравенств, которым найденное решение не удовлетворяет. На Рисунке 9 показано, как иное начальное приближение может приводить к другому решению задачи, приведенной на Рисунке 8. На Рисунке 10 показано, как добавить ограничения в виде неравенства для поиска другого решения.
Что делать, когда Mathcad не может найти решения
Если в результате решения уравнений на каком-либо шаге итераций не может быть найдено более приемлемое приближение к искомому решению по сравнению с предыдущим шагом, то поиск решения прекращается, а функция Find помечается сообщением об ошибке “решение не найдено”.
Если при поиске решения встречаются трудности, то полезно вывести те или иные графики, связанные с системой. Анализ графика может облегчить поиск области, в которой может находиться искомое решение. Это поможет выбрать подходящее начальное приближение.
На Рисунке 11 приведена задача, для которой Mathcad не смог найти решение.
Рисунок 11: Пример задачи, решение которой не может быть найдено в блоке решения уравнений.
Сообщение об ошибках “решение не найдено” при решении уравнений появляется, когда различие между текущим приближением и приближением, полученным на предыдущем шаге итераций, больше, чем значение встроенной переменной TOL, и выполнено одно из следующих условий:
Достигнута точка, из которой не может быть получено более точное приближение к решению.
Достигнута точка, из которой невозможно выбрать подходящее направление спуска — направление вдоль которого ищется следующее приближение. В связи с этим продолжать итерации невозможно.
Достигнут предел точности вычислений. Дальнейшие вычисления не увеличивают точность найденного решения вследствие влияния ошибок округления. Это часто случается, если установлено значение встроенной переменной TOL меньшее, чем 10-15.
Причиной появления этого сообщения об ошибке может быть следующее:
Поставленная задача может не иметь решения.
Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число. Если решение задачи комплексное, то оно не будет найдено, если только в качестве начального приближения не взято также комплексное число. На Рисунке 11 приведен соответствующий пример.
В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Метод поиска решения, который используется в Mathcad, не позволяет в этом случае построить следующее приближение, которое бы уменьшало невязку. Для поиска искомого решения пробуйте использовать различные начальные приближения или добавьте ограничения на переменные в виде неравенств, чтобы обойти точку локального минимума.
В процессе поиска решения получена точка, которая не является точкой локального минимума, но из которой метод минимизации не может определить дальнейшее направление движения. Метод преодоления этой проблемы — такой же, как для точки локального минимума: измените начальное приближение или добавьте ограничения в виде неравенств, чтобы миновать нежелательную точку остановки.
Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Если значение встроенной переменной TOL слишком мало, то Mathcad может достигнуть точки, находящейся достаточно близко к решению задачи, но уравнения и ограничения при этом не будут выполнены с точностью, задаваемой переменной TOL. Попробуйте увеличить значение TOL где-нибудь выше блока решения уравнений.