Производные более высокого порядка

В Mathcad существует оператор для вычисления производной n-ного порядка.

Например, чтобы найти третью производную функции x⁹ по x в точке x = 2, выполните следующее:

• Сначала определите точку, в которой необходимо вычислить производную. Наберите x:2.

• Щёлкните ниже определения x. Затем нажмите клавиши [Ctrl]? . Появляется    оператор  производной с двумя полями в знаменателе, одним в числителе и еще одним справа.

• Щёлкните на поле внизу и наберите x. Это имя переменной, по которой производится дифференцирование.

• Щёлкните на поле выше и правее от предыдущего поля и наберите 3. Это должно быть целое число между 0 и 5. Обратите внимание, что поле в числителе автоматически отображает любой порядок, печатаемый в знаменателе.

• Щёлкните на поле справа от d/dx и наберите x^9. Это — выражение, которое нужно дифференцировать.

• Нажмите знак =, чтобы видеть третью производную выражения в заданной точке.

При n = 1  оператор дает тот же самый результат, что и оператор производной, обсужденный выше. При n = 0 он возвращает значение функции.

Оператор интегрирования в Mathcad предназначен для численного вычисления определенного интеграла функции по некоторому интервалу.

Например, определенный интеграл sin(x)² от 0 до /4 может быть вычислен следующим образом:

• Щёлкните в свободном месте и наберите знак &.  Появится знак интеграла  с пустыми полями для подинтегрального  выражения, пределов  интегрирования и переменной  интегрирования.

• Щёлкните на поле внизу и наберите 0. Щёлкните на верхнем поле и нажмите клавиши /4. Так задаются верхний и нижний пределы интегрирования.

• Щёлкните на поле между знаком интеграла и d. Затем напечатайте sin(x)^2. Это — выражение, которое нужно интегрировать.

• Щёлкните на поле и наберите x. Это — переменная интегрирования. Затем нажмите знак =, чтобы увидеть результат.

Для приближенного вычисления определенного интеграла Mathcad использует численный алгоритм интегрирования Ромберга.

Необходимо сделать следующие замечания относительно численного интегрирования в Mathcad:

• Пределы интегрирования должны быть вещественными. Выражение, которое нужно интегрировать, может быть, однако, вещественным либо комплексным.

• Кроме переменной интегрирования, все переменные в подинтегральном выражении должны быть определены ранее в другом месте рабочего документа.

• Переменная интегрирования должна быть простой переменной без индекса.

• Если  переменная  интегрирования  является размерной величиной, верхний и нижний пределы интегрирования должны иметь ту же самую размерность.

Подобно всем численным методам, точность алгоритма интегрирования в Mathcad зависит от особенностей подинтегрального выражения.  Если выражение, которое нужно интегрировать, имеет особенности, разрывы или быстро осциллирует, численное решение, найденное Mathcad, может быть неточно.

Поскольку метод интегрирования Mathcad делит интервал на четыре подинтервала, а затем удваивает число точек разбиения, это может привести к неправильным результатам для периодических функций с периодом 1/2ⁿ от длины интервала. Чтобы обойти эту проблему, делите интервал на два подинтервала, не кратных периоду функции, и интегрируйте по каждому подинтервалу отдельно.

Для вычисления точного значения интеграла или для нахождения неопределенного интеграла могут быть использованы возможности символьных вычислений Mathcad. Подробности см. в Главе “Символьные  вычисления”.