1.8 Простые колебательные контуры

Резонансом называют такое состояние электрической цепи, состоящей из разнохарактерных реактивных элементов, при котором фазовый сдвиг между входным током и приложенным напряжением равен нулю. Цепи, в которых возникает явление резонанса, называют колебательными контурами.

Простейший колебательный контур содержит индуктивный и ёмкостной элементы, соединенные последовательно (последовательный контур) или параллельно (параллельный контур). Различают два типа резонансов: напряжений и токов.

1.8.1 Последовательный колебательный контур и резонанс напряжений

На рисунке 1.18 изображена схема последовательного контура с реактивными элементами L и С и активным сопротивлением R, характеризующим потери в контуре.

Рисунок 1.18 – Последовательный колебательный контур

Приложим к контуру гармоническое напряжение с частотой . Комплексное входное сопротивление контура на данной частоте определяется согласно уравнению:

= R + jX = R + j( L - 1/ C) . (1.81)

Фазовый сдвиг между током и приложенным напряжением

 = arctg = arctg X/R . (1.82)

При резонансе  = 0, что возможно, если X =  L – (1/ C) = 0. Отсюда получаем уравнение резонансной частоты ₀:

 = ₀ = . (1.83)

На резонансной частоте комплексное сопротивление носит чисто активный характер, т. е. = R, ток совпадает по фазе с приложенным напряжением и достигает максимального значения . Реактивные сопротивления контура на резонансной частоте ₀ будут равны друг другу:

X_L0 = X_C0 = ₀L = 1/(₀C) = =  . (1.84)

Величина  носит название волнового (характеристического) сопротивления контура. Резонансные свойства контура характеризуются добротностью контура: Q =  /R.

Найдем отношение действующих значений напряжений на реактивных элементах (L и С) к действующему значению приложенного напряжения при резонансе:

U_L0/U = U_C0/U = (I₀w₀L)/U = I₀/(₀CU) = /R = Q . (1.85)

Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз резонансные напряжения на реактивных элементах превышают приложенное напряжение. Отсюда следует и термин «резонанс напряжений». Энергия источника расходуется только на покрытие тепловых потерь в элементе активного сопротивления R; реактивная мощность при резонансе не потребляется.

Анализируя характер уравнений напряжений и токов в RLC–цепи, фазовых сдвигов между ними при гармоническом воздействии, видно, что они являются частотно-зависимыми. Эта зависимость вытекает непосредственно из зависимости сопротивлений реактивных элементов Х_L и Х_C от частоты . На рисунке 1.19 изображены зависимости Х_L(), Х_C(), Z(),  (), определяемые формулами:

Х_L() = L; Х_C() = 1/(C); Х() = L – 1/C; (1.86)

; (1.87)

 () = arctg{[L - 1/(C)]/R}. (1.88)

Зависимости Х_L(), Х_C(), X(), Z() носят название частотных характеристик параметров цепи, а зависимость  () – фазо-частотной характеристики.

Рисунок 1.19 – Зависимость сопротивлений и фазы от частоты

в последовательном колебательном контуре

Из представленных характеристик следует, что при  < ₀ цепь имеет емкостной характер (Х<0; <0) и ток опережает по фазе приложенное напряжение; при  > ₀ характер цепи индуктивный (X>0; >0) и ток отстает по фазе от приложенного напряжения; при  = ₀ наступает резонанс напряжений (X=0; =0) и ток совпадает по фазе с приложенным напряжением. Зависимость действующего значения тока от частоты можно найти по формуле:

_. (1.89)

Действующие значения напряжений на реактивных элементах можно найти, согласно закону Ома:

U_L() = I()X_L() = . (1.90)

U_C() = I()X_C() = . (1.91)

Зависимости I(), U_L(), U_C() называются амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) относительно тока и напряжений, или резонансными характеристиками (рисунок 1.20). Важной характеристикой колебательного контура является полоса пропускания. Полосой пропускания принято называть полосу частот вблизи резонанса, на границе которой ток снижается в раз относительно I₀. Абсолютная полоса пропускания  f_A определяется как разность граничных частот f₂ и f₁:

 f_A = f₂ – f₁ = f₀/Q; (1.92)

Поскольку с увеличением потерь R добротность контура падает, то подключение к контуру сопротивления нагрузки или источника с внутренним сопротивлением приводит к расширению полосы пропускания.

Рисунок 1.20 – АЧХ и полоса пропускания последовательного

колебательного контура