1.10.2 Расчет переходных процессов операторным методом
Пользуясь основными свойствами преобразования Лапласа, можно получить основные законы теории цепей в операторной форме. Рассмотрим, например, последовательный RLC-контур, находящийся при ненулевых начальных условиях uc(0_) ¹ 0; iL(0_) ¹ 0.
Применив к уравнению контура по ЗНК прямое преобразование Лапласа и принимая во внимание свойства линейности, дифференцирования и интегрирования оригинала, получим:
U(p) = RI(p) + pLI(p) – Li(0–) + [uc(0–)/p] + [1/pC]I(p) . (1.126)
Отсюда получаем закон Ома в операторной форме для данной цепи:
,
(1.127)
где U0(p) = U(p) + Li(0–) – uc(0–)/p носит название операторного напряжения;
Z(p) = R + pL + 1/pC – операторного сопротивления цепи.
Если в Z(р) заменить р на jw, то получим комплексное сопротивление цепи.
Величины Li(0–) и иc(0–)/р называют расчетными напряжениями. Величина, обратная Z(p), называется операторной проводимостью цепи.
Для нулевых начальных условий закон Ома примет вид
.
(1.128)
Аналогичным образом можно получить законы Кирхгофа в операторной форме – первый закон (ЗТК) и второй закон (ЗНК):
;
.
(1.129,
1.130)
Базируясь на законах Ома и Кирхгофа в операторной форме, можно рассчитать переходный процесс любым из ранее рассмотренных методов: контурных токов, узловых напряжений и др. При этом удобно пользоваться эквивалентными операторными схемами. При составлении эквивалентных операторных схем источники тока и напряжений i(t) и u(t) заменяются соответствующими изображениями I(р) и U(p), индуктивность L заменяется на pL, а емкость С – на l/pC при нулевых начальных условиях.
При ненулевых начальных условиях последовательно с pL добавляется источник напряжения Li(0–), а с С – источник напряжения – ис(0–)/р (рисунок 1.30).
Важную роль в методах анализа и синтеза электрических цепей играют операторные передаточные функции.
Рисунок 1.30 – Замена при составлении эквивалентных операторных схем
Эти функции определяются как отношение изображения выходной реакции цепи к изображению входного воздействия:
.
где Нu(р) имеет смысл передаточной функции по напряжению; Нz(р) – передаточное сопротивление.
Если здесь заменить оператор р на jw, то получим уравнение комплексных передаточных функций H(jw), которые широко используются при частотных методах анализа электрических цепей.
2 Нелинейные цепи и аппроксимация характеристик нелинейных элементов
Все цепи, рассматриваемые до сих пор, относились к классу линейных систем. Элементы таких цепей R, L и С являются постоянными и не зависят от воздействия. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Если элементы электрической цепи R, L и С зависят от воздействия, то цепь описывается нелинейным дифференциальным уравнением и является нелинейной. Например, для колебательного RLC-контура, сопротивление которого зависит от напряжения uc, получим:
.
(2.1)
Элемент электрической цепи, параметры которого зависят от воздействия, называется нелинейным. Различают резистивные и реактивные нелинейные элементы.
Для нелинейного резистивного элемента характерна нелинейная связь между током i и напряжением u, т. е. нелинейная характеристика i = F(u). На рисунке 2.1 приведена ВАХ типового нелинейного элемента (полупроводникового диода).
Рисунок 2.1 – ВАХ нелинейного элемента
Для резистивных нелинейных элементов важным параметром является их сопротивление, которое в отличие от линейных резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется.
По ВАХ нелинейного элемента можно определить сопротивление как
,
(2.2)
где U0 – приложенное к нелинейному элементу постоянное напряжение; I0 = F(U0) –протекающий по цепи постоянный ток. Это сопротивление постоянному току (или статическое). Оно зависит от приложенного напряжения.
Пусть на нелинейный элемент действует напряжение u = U0 + Umcoswt, причем амплитуда Um, переменной составляющей достаточно мала, так что тот небольшой участок ВАХ, в пределах которого действует переменное напряжение, можно считать линейным. Тогда ток. протекающий через нелинейный элемент, повторит по форме напряжение: i = I0 + Imcoswt.
Определим сопротивление Rдиф как отношение амплитуды переменного напряжения Um к амплитуде переменного тока Im (это отношение приращения напряжения Du к приращению тока Di):
.
(2.3)
Это сопротивление называется дифференциальным (динамическим) и представляет собой сопротивление нелинейного элемента переменному току малой амплитуды. Обычно переходят к пределу этих приращений и определяют дифференциальное сопротивление в виде Rдиф=du/di. Приборы, имеющие падающие участки на ВАХ, называются приборами с отрицательным сопротивлением, так как на этих участках производные di/du < 0 и du/di < 0.
Одной из важнейших особенностей нелинейных цепей является то, что в них не выполняется принцип наложения. Поэтому невозможно предсказать результат воздействия суммы сигналов, если известны реакции цепи на каждое слагаемое воздействие. Из сказанного вытекает непригодность для анализа нелинейных цепей временного и спектрального методов, которые применялись в теории линейных цепей.
Действительно, пусть вольт-амперная характеристика (ВАХ) нелинейного элемента описывается выражением i = au2. Если на такой элемент действует сложный сигнал u = u1 + u2, то отклик i = a (u1 + u2)2 = au12 + au22 + 2au1u2 отличается от суммы откликов на действие каждой составляющей в отдельности (au12 + au22) наличием компоненты 2au1u2, которая появляется только в случае одновременного воздействия обеих составляющих.
Рассмотрим вторую отличительную особенность нелинейных цепей. Пусть u = u1 + u2 = Um1cosw0t + Um2cosWt , где Um1 и Um2 – амплитуды напряжений u1 и u2.
Тогда ток в нелинейном элементе с ВАХ i = au2 будет иметь вид:
(2.4)
На рисунке 2.2 построены спектры напряжения и тока. Все спектральные компоненты тока оказались новыми, не содержащимися в напряжении. Таким образом, в нелинейных цепях возникают новые спектральные компоненты. В этом смысле нелинейные цепи широко используются для преобразований сигналов, связанных с изменением их спектров.
Рисунок 2.3 – Спектр тока квадратичного нелинейного элемента