1.6 Гармонические колебания в пассивных rlc–цепях

Резистивные цепи. Пусть к резистивному элементу R приложено синусоидальное гармоническое напряжение. Согласно закону Ома, через него будет протекать ток:

i = u/R = (U_m/R)sin(t + _u) = I_msin(t + _i) , (1.53)

где I_m = U_m/R – амплитуда; _i = _u – начальная фаза тока. Ток i и напряжение u в резистивном элементе совпадают по фазе друг с другом (рисунок 1.13, а).

Рисунок 1.13 – Векторные диаграммы для RLC–цепей

Средняя за период Т мощность, выделяемая в R, будет:

. (1.54)

Индуктивные цепи. Под действием напряжения в индуктивном элементе будет протекать ток (c учётом, что :

, (1.55)

где I_m = U_m/( L) = U_m/X_L; X_L – индуктивное сопротивление; _i = _u – /2 – начальная фаза тока.

Как следует из полученных выражений, ток в индуктивности отстает от приложенного напряжения на /2, т. е. фазовый сдвиг между током i и напряжением u (рисунок 1.13, б):  = _u – _i = /2. Средняя за период мощность в индуктивном элементе равна нулю.

Ёмкостные цепи. Для емкостного элемента имеем с учётом, что

:

i = C =C U_msin(t + _u + p/2) = I_msin(t + _i) , (1.56)

где I_m = U_m/(1/С) = B_CU_m; _i = _u + /2 – начальная фаза тока. Величину X_C = 1/(C) называют емкостным сопротивлением.

Из приведенных уравнений следует, что ток в емкости опережает приложенное напряжение на /2 (рисунок 1.13, в). Средняя за период мощность в емкостной цепи также равна нулю.

1.6.1 Гармонические колебания в цепи при последовательном соединении RLС–элементов

Допустим, что в цепи, содержащей последовательно соединенные элементы R, L, С (рисунок 1.14), протекает ток i = I_msin(t + _i). Согласно ЗНК напряжение на отдельных участках цепи определяется уравнением:

u = u_R + u_L +u_C = Ri + L. (1.57)

Рисунок 1.14 – RLC–цепь

На рисунке 1.14 изображена векторная диаграмма напряжений, описываемых этими уравнениями. Напряжение U_mR на активном сопротивлении R называется активной составляющей приложенного напряжения и обозначается U_ma = U_mR; разность напряжений U_mp = U_mL – U_mC называют реактивной составляющей. Согласно этому определению, имеем: U_ma = I_mR; U_mp = I_m(X_L – X_C) = I_mX.

Величина Х = Х_L – X_C = L – 1/(С) называется реактивным сопротивлением, а величина Z = полным сопротивлением цепи.

Треугольник на векторной диаграмме, образованный напряжениями U_ma, U_mp, U_m называют треугольником напряжений, рисунок 1.15.

Если U_mL > U_mC (X_L > X_C), то цепь носит индуктивный характер (приложенное напряжение опережает ток). Если U_mL < U_mC (X_L < X_C), то цепь носит емкостной характер (приложенное напряжение отстает от тока).

Треугольник со сторонами R, Х и Z, подобный треугольнику напряжений, называется треугольником сопротивлений.

Рисунок 1.15 – Векторные диаграммы элементов R, L, C

Из треугольников сопротивлений и напряжений следует:

; (1.58)

 = arctg(U_mp/U_ma) = arctg(X/R); (1.59)

R = Zcos ; X = Zsin . (1.60)

Вопросы для самотестирования

1 Как различаются по фазе ток и напряжение в резистивных, индуктивных и ёмкостных элементах электрических цепей?

2 Как представляются гармонические колебания при символическом методе (методе комплексных амплитуд) расчёта электрических цепей и в какой форме представляется синусоидальный ток на комплексной плоскости?

3 Как соотносятся реактивные сопротивления, если цепь носит индуктивный характер?

4 Приведите формулу для определения амплитуды напряжения на электрической цепи, если известны активная и реактивная составляющие напряжения.

5 Приведите формулу для определения фазы напряжения на электрической цепи, если известны активная и реактивная составляющие напряжения.