1.4 Принцип дуальности

Анализ уравнений для напряжений и токов, полученных в предыдущих разделах, позволяет сформулировать важный принцип теории электрических цепей –принцип дуальности (двойственности). Этот принцип гласит: если для данной электрической цепи справедливы некоторые законы, уравнения или соотношения, то они будут справедливы и для дуальных величин в дуальной цепи. Этот принцип проявляется, например, в сходстве законов изменения напряжения в одной цепи и законов изменения токов в другой цепи (дуальной).

Таблица 1.1 иллюстрирует двойственный характер основных законов и соотношений в электрических цепях.

Использование принципа дуальности в ряде случаев позволяет существенно упростить расчет. Так, если найдены уравнения для одной цепи, то, используя дуальные соотношения, можно сразу записать законы изменения дуальных величин в дуальной цепи.

1.4.1 Баланс мощности

Одной из наиболее общих теорем теории электрических цепей является теорема Телледжена. Рассматривая произвольную электрическую цепь, содержащую n_в ветвей и n_у узлов, для согласованных направлений напряжений и токов ветвей теорема Телледжена гласит [2]: сумма произведений напряжений u_k и токов i_k всех ветвей цепи, удовлетворяющих законам Кирхгофа, равна нулю:

. (1.41)

Таблица 1.1 – Двойственный характер соотношений в электрических цепях

Понятия
исходные	дуальные
Напряжение u Сопротивление R Задающее напряжение uГ	Ток i Проводимость G Задающий ток iГ
ЗТК: u = Ri; Метод контурных токов. Метод эквивалентного генератора напряжения.	ЗНК: i = Gu; Метод узловых напряжений. Метод эквивалентного генератора тока.
Последовательное: ; .	Параллельное: ; .

Необходимо подчеркнуть, что поскольку теорема Телледжена следует непосредственно из законов Кирхгофа, то она справедлива для любых электрических цепей: линейных и нелинейных, активных и пассивных, цепей, параметры которых изменяются во времени (параметрических цепей).

Из теоремы Телледжена вытекает ряд следствий, важнейшим из которых является баланс мощности. Действительно, произведение u_ki_k представляет собой мгновенную мощность р_k k-й ветви, поэтому сумма мощностей всех ветвей цепи равняется нулю.

Если выделить ветви с независимыми источниками, то баланс мощности можно сформулировать следующим образом: сумма мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равняется сумме мощностей, потребляемых остальными ветвями электрической цепи.

При определении Р_ист произведение u_гi берется со знаком «+», если направления задающего напряжения u_г и тока i направлены навстречу друг другу, и со знаком «–» в противном случае. Аналогичное правило знаков для источников тока: если напряжение на зажимах источника направлено навстречу задающему току i_г берется знак «+», а если напряжение совпадает с током – знак «–». Баланс мощности выражает закон сохранения энергии в электрической цепи.

Одной из важнейших практических задач является оптимальная передача электрической энергии от активного к пассивному двухполюснику. Оптимум обычно понимается в смысле получения максимальной мощности в нагрузке R_н. Для цепи постоянного тока активный и пассивный двухполюсники можно заменить эквивалентной схемой, изображенной на рисунке 1.9.

Рисунок 1.9 – Активный и пассивный двухполюсники

Мощность p определим с помощью выражения:

p_н = i²R_н = (u_г²)R_н / (R_г + R_н)² . (1.42)

Напряжение на нагрузке u_н = u_г - iR_г. Максимум мощности будет достигаться при R_н = R_г, при этом ток в цепи принимает значение i_o = = u_г/(2R_г), а мощность р_{н max} = u_г²/(4R_г).

Коэффициент полезного действия системы передачи определяется равенством:

 = р_н/р_ист = (u_гi - i²R_г) / (u_гi) = 1 - iR_г/u_г . (1.43)

При i = i_o и p_н = p_{н max} имеем  =0,5 (50 %). На рисунке 1.10 представлены зависимости р_ист, р_н и  от тока i.

Рисунок 1.10 – Зависимости мощностей, выделяющихся на источнике и нагрузке при R_н = R_г

Вопросы для самотестирования

1 Закон Кирхгофа для токов гласит: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю. Но применим ли этот закон для цепи, в одной из ветвей которой ток в её начале имеется, а на её конце ток равен нулю?

2 Справедливы ли законы токов и напряжений Кирхгофа для метода контурных токов?

3 Теорема Телледжена гласит: сумма произведений напряжений u_k и токов i_k всех ветвей цепи, удовлетворяющих законам Кирхгофа, равна нулю. Справедлива ли она для линейных, нелинейных, активных и пассивных цепей?

4 Для нахождения тока в одной и той же ветви электрической цепи сначала использован метод эквивалентного источника напряжения, а затем метод эквивалентного источника тока. Чем будут отличаться результаты, полученные в обеих случаях?

5 Как называются две электрические цепи, если существует сходство изменения напряжения в одной цепи и законов изменения токов в другой цепи (u = Ri и i = Gu)?