X и y. Теперь предположим, что мы увеличиваем количество каждого вида за-

трат в k раз. Например, если мы увеличиваем затраты на 10%, k = 1,10, если мы

удваиваем затраты, k = 2,0. Конечно, ожидается, что Q должно увеличиться

в определенной пропорции в результате увеличения затрат. Обозначим вели-

чину этого увеличения как h. Используя уравнение (6.3), получаем

HQ=f(kX.kY). (6.4)

Используя эти обозначения, мы можем обобщить эффект масштаба следу-

ющим образом:

•если h > k, фирма испытывает увеличивающийся эффект масштаба (EQ > 1);

•если h = k, фирма испытывает постоянный эффект масштаба (EQ =1);

•если h < k, фирма испытывает уменьшающийся эффект масштаба (Е < 1).

Мы проиллюстрируем эффект масштаба иа числовом примере. Предполо-

жим, что у нас есть следующая производственная функция:

<2,=5Х+7У.

Если мы используем 10 единиц каждых затрат, выпуск составит

Q, = 5( 10) + 7(10) = 50 + 70 = 120 единиц.

Теперь давайте увеличим все затраты на 25% (т. е. k = 1,25). Это даст нам

Q, = 5(12,5) + 7(12,5) d 62,5 + 87,5 = 150.

Увеличение X и Y на 25% привело к пропорциональному увеличению вы-

пуска (т. е. 150 больше, чем 120, на 25%).

Также мы можем проиллюстрировать концепцию эффекта масштаба гра-

фически. На рис. 6.5 показаны три возможных типа эффекта масштаба. В каж-

дом случае мы предполагаем, что затраты (X и Y) увеличиваются соразмерно;

Р И С У Н О К 6.5

Графические изображения

эффекта масштэба

т. е. оба типа затрат откладываются по горизон-

тальной оси. Очевидно, что эти графики явля-

ются идеализированным представлением эф-

фекта масштаба. В реальных условиях мы не

стали бы ожидать, что изменение выпуска по

отношению к изменению затрат будет проходить настолько же ровно и пра-

вильно.

ОЦЕНКА ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ

После изучения теории спроса мы обратились к теме оценки спроса. Теперь

пришло время изучить еще одну важную задачу экономики управления —оцен-

ку производственной функции. В этой части мы рассматриваем три важные

темы. Во-первых, мы обсуждаем возможные формы производственной функ-

ции. Во-вторых, мы обсуждаем производственную функцию Кобба —Дугласа,

форму, которая широко используется экономистами с момента ее выведения

в 1920 г. И в последнюю очередь мы рассмотрим данные, необходимые для оцен-

ки производственной функции, и некоторые исследования производственных

функций, которые были опубликованы экономистами.

РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ

ФУНКЦИЙ

ранее в этой главе мы представили производственную функцию в краткосроч-

ном периоде. Как вы помните, краткосрочный период характеризуется нали-

чием фиксированного фактора, к которому мы добавляем переменный фактор.

Таким образом, простая функция, содержащая только один переменный фак-

тор и один фиксированный фактор, может быть записана следующим образом:

Однако возможен вариант, при котором

данные, используемые при оценке, будут де-

монстрировать уменьшение маржинальной от-

дачи, а не первую стадию производства. Такая

оценка представляется в виде квадратичной функции:

Кубическая

производственная функция

На рис. 6,7, а и 6 соответственно изображены кривые совокупного и еди-

ничного продукта. Оба графика показывают уменьшающуюся маржинальную

отдачу, а увеличивающаяся предельная отдача, а значит и стадия 1, отсутствует.

Проводя эмпирическое исследование, можно выявить линейную производ-

ственную функцию Q = а + Ы. Эта функция не демонстрирует уменьшающейся

отдачи; валовой продукт будет прямой линией с наклоном Ь, а линии МР и АР

будут горизонтальными и совпадающими.9 Конечно, прямолинейная производ-

ственная функция может существовать в некоторых реальных ситуациях, но, учи-

MP.AR

тывая наличие фиксированного фактора, иесто- РИСУНОК 6.7

ит ожидать, что в широком диапазоне объемов Квадратичная

производства ПОСТОЯННЫЙ маржинальный про- производственная функция

дукт будет преобладать.

Другой формой производственной функ-

ции является показательная функция, которая имеет следующий вид:

Как показано на рис. 6.8, форма этой производственной функции зависит

от степени Ъ.

Р И С У Н О К 6.8

Показательная

производственная функция

Основным преимуществом показательной

функции является то, что она может быть пре-

образована в линейную функцию, если выра-

зить ее через логарифмы и сделать доступной

для регрессионного анализа:

logQ = loga + blogL.

Направление кривой маржинального продукта зависит от величины степе-

ни Ь. Если Ь > 1. то маржинальный продукт увеличивается; если b = 1, то ои

имеет постоянное значение, а если Ь< 1, —уменьшается. Однако на одной функ-

ции невозможно изобразить два направления для маржинального продукта, как

это было можно сделать в случае, когда функция описывалась кубическим урав-

нением. Эта функция часто используется в эмпирической работе. Одной из

причин ее популярности является то, что ее можно легко преобразовать в функ-

цию с одной или несколькими независимыми переменными:

Использование в производственной функции больше одной независимой

переменной, конечно же, является более реалистичным, чем ограничение ана-

лиза только одной независимой переменной. А когда предполагается, что все

затраты являются переменными, это значит, что мы переходим от краткосроч-

ного к долгосрочному анализу. В действительности эту функцию можно при-

менять в обоих типах анализа. В простой модели с двумя переменными (на-

пример, труд и капитал) показательная функция дает возможность оценить

маржинальный продукт (например, когда труд меняется, а капитал остается

неизменным) и эффект масштаба (когда меняются обе переменные).

ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ КОББА—ДУГЛАСА

Производственная функция Кобба—Дугласа была выведена в 1928 г. и до сих

пор является наиболее распространенной формой в экономических исследова-

ниях. Она широко использовалась как для оценки производственных функций

отдельных фирм, так и для оценки совокупных производственных функций.

Эта функция подверглась значительной критике, но уцелела. ≪Сейчас в эконо-

мике стало обычной практикой отрицать ее обоснованность, а затем использо-

вать ее как отличное приближение≫. Изначально она создавалась для всей про-

мышленной продукции в США в период с 1899 по 1922 г. Авторы использовали

два типа затрат: количество работников физического труда (I) и основной ка-

питал (К). Формула производственной функции, предложенная Коббом, вы-

глядела следующим образом:

результата показан в приложении 6В.) Каждый коэффициент всегда будет мень-

ше 1, и это будет означать, что каждый демонстрирует уменьшающуюся мар-

жинальную отдачу. Таким образом, производство находится на стадии II. ко-

торая является важной областью производства,

4. Как будет доказываться в приложении 6В, эластичность производства

является важным понятием. В функции Кобба—Дутласа эластичность факто-

ров равняется их степени, в данном примере —b и с. Таким образом, эластич-

ности труда и капитала являются константами,

5. Так как показательную функцию можно преобразовать в линейную, ис-

пользуя логарифмы, ее можно оценить при помощи линейного регрессионного

анализа. Это можно сделать с помощью достаточно простых вычислений, ис-

пользуя любой пакет программ.

6. Хотя мы свели наше обсуждение всего лишь к двум переменным затра-

там (I и К), функция Кобба—Дугласа может вмещать в себя любое число неза-

висимых переменных:

7. Теоретическая производственная функция предполагает, что технология

остается неизменной. Однако данные, вводимые исследователем, могут охва-

тывать период времени, за который технология успела усовершенствоваться,

Одна из независимых переменных в предыдущем уравнении может обозначать

технологическое изменение (временной ряд) и, таким образом, уточнять функ-

цию, принимая во внимание технологию.

У функции Кобба—Дугласа есть следующие недостатки:

1) не может показать маржинальный продукт на всех трех стадиях производ-

ства в одной спецификации (для этого необходима кубическая функция).

2) не может показать, как фирма или отрасль проходит через увеличиваю-

щийся, постоянный и уменьшающийся эффект масштаба;

3) существуют важные проблемы со спецификацией данных, которые исполь-

зуются при эмпирической оценке. Эти проблемы обсуждаются далее.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ

ФУНКЦИЙ

Давайте теперь обратимся к описанию данных, которые будут использоваться

в эмпирических оценках производственных функций. Позже мы также сделаем

обзор некоторых опубликованных исследований. Когда статистическая оценха

касается предприятия или группы предприятий, данные берутся из докумен-

тов компании —бухгалтерских, кадровых, платежных, производственных и др.

Если на предприятии производится только один продукт, Q устанавливает-

ся в физических единицах (например, штуках, тоннах, галлонах). Однако если

предприятие производит несколько различных продуктов и точно выделить

затраты и выпуск продуктов не представляется возможным, оценка становит-

ся намного более сложной. В этом случае исследователю, возможно, придется

зафиксировать определенную меру ценности, присваивая продуктам весовые

коэффициенты в зависимости от создаваемой ценности (на основе издержек

или отпускной цены). Эта процедура несет в себе ряд очевидных проблем. Во-

первых, со временем данные будет необходимо пересчитывать, чтобы учесть

изменение цены или издержек. Во-вторых, цена или издержки продукта может

не быть точным отражением затрат, объединенных в суммарную величину.

Однако, пока не найдено лучшего метода измерения, необходимо довольство-

ваться подобными методами оценки.

Измерение затрат также может иметь различную степень сложности. За-

траты должны измеряться как ≪поточные≫, а не ≪ресурсные≫- переменные, а это

не всегда оказывается возможным.12

Обычно наиболее важным ресурсом является труд. Количество часов труда

явчястся, наверное, лучшим показателем для наших целей. Обычно данные

о рабочем времени доступны из документации компании. Если эти данные от-

сутствуют, то другим вариантом является количество работников. Однако сле-

дует помнить, что количество работников является ресурсной переменной, ко-

торая не обязательно отражает количество труда, затраченного на производство.

Для материалов лучше всего подходят физические показатели. В некоторых

случаях подобные данные легкодоступны (например, вес потребляемых мате-

риалов). Конечно, так как мы не хотим увеличивать количество независимых

переменных, можно посоветовать использовать только наиболее важные сырь-

евые материалы. В качестве альтернативы можно использовать сочетание ма-

териалов (по весу или ценности). Также можно включить в анализ коммуналь-

ные услуги (электричество, газ и т. д.); в этом случае физические величины будет

достаточно просто получить.

Наиболее сложной переменной являются крайне важные затраты капита-

ла. Как можно измерить использование в производстве предприятия, машин-

ного оборудования и техники? Так как различные компоненты предприятия

имеют различные сроки службы и на них требуются разные затраты, их исполь-

зование в течение периода времени сложно установить. В некоторых случаях

показателем использования капитала могут служить периодические амортиза-

ционные отчисления. Однако амортизационные отчисления, записанные в бух-

галтерских документах компании, часто основываются на бухгалтерских пра-

вилах или требованиях закона. Более того, прогнозируемый срок амортизации

механизма чаще всего зависит от принципов налогообложения, потому что

в целях налогообложения фирма стремится воспользоваться списанием как

можно раньше. Некоторые виды капитала, например земля, не подлежат аморти-

зации. До тех пор пока исследователь ни разработает какого-то способа изме-

рения использования капитала (а это, конечно, серьезная задача), ему остается

использовать метод оценки использования капитала с ресурсной переменной

(например, основных активов). Конечно, это решение не является идеальным,

потому что цена этих активов зависит от того, когда они были приобретены.

Таким образом, цифры по активам должны быть скорректированы ценовым

индексом. Следует ли использовать общую сумму основных активов (т. е. пер-

воначальную всего завода и оборудования) или чистую стоимость активов (об-

щая стоимость активов минус износ)? Это опять же сложный вопрос. На него

не существует точного ответа. Для каждого отдельного случая исследователь

должен выбирать наиболее подходящий метод.

Если оценка производственной функции должна быть выполнена с исполь-

зованием регрессионного ан&чиза, значит, необходимо выбирать между анали-

зом временного ряда и перекрестным анализом. Первый тип анализа будет пред-

почтительнее, если данные собирались за определенный период времени на

одном предприятии. Однако, если переменные выражены в денежных, а не

физических единицах, возникнет необходимость сделать поправку на инфля-

цию. Кроме того, для учета изменений в технологии может потребоваться ис-

пользование величины, зависящей от времени (или фиктивной переменной).

Перекрестный анализ предпочтителен, когда собранные данные касаются

нескольких предприятий за определенный период времени. Однако тут опять

могут возникнуть проблемы. Разные предприятия могут использовать различ-

ные уровни технологии. Если данные приведены в стоимостном выражении,

то необходимо учесть разные уровни цен и оплаты труда в различных геогра-

фических областях.

Хотя теоретическая пронлнодственгная функция предполагает, что продук-

ция производится с использованием наиболее эффективных комбинаций ре-

сурсов, конечно, в реальности такую идеальную ситуацию не может гарантиро-

вать ни един используемыI! метод оценки. Б конечном счете совершенного

метода оценки и анализа данных не существует. Исследователь должен выби-

рмть наиболее подходящий метод.

Числовой пример производственной функции Кобба— Дугласа

Была отобрана группа перекрестиых данных по двенадцати заводам, нанима-

ющихся розливом прохладительных напитков. Данные относятся к определен-

ному месяцу в 1998 г. Используются только две независимые переменные-