- •В.В. Нешитой
- •Методы статистического анализа
- •На базе
- •Обобщенных распределений
- •Предисловие
- •Введение
- •I. Случайные события и их вероятности
- •1.1. Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность
- •1.2. Виды случайных событий
- •1.3. Определения вероятности
- •1.4. Основные формулы комбинаторики
- •II. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)
- •2.2. Теорема умножения вероятностей (независимых событий)
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •III. Дискретные случайные величины
- •3.1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •3.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •3.2.1. Математическое ожидание
- •3.2.2. Свойства математического ожидания
- •3.2.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •3.2.4. Свойства дисперсии
- •3.2.5. Среднее квадратическое отклонение
- •3.2.6. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •3.2.7. Моменты (начальные, центральные) дискретной случайной величины
- •4.2. Плотность распределения
- •4.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •4.4. Примеры непрерывных распределений
- •4.4.1. Нормальный закон
- •5.2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения
- •5.3. Статистические оценки параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность)
- •5.4. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •5.5. Метод наибольшего правдоподобия
- •VI. Обобщенные распределения. Системы непрерывных распределений
- •6.1. Методы построения обобщенных распределений
- •6.2. Построение системы непрерывных распределений методом обобщения
- •6.3. Классификация обобщенных распределений
- •Распределения группы а
- •Распределения группы б
- •Группа симметричных распределений
- •6.4. Распределения функций случайного аргумента
- •6.5. Три основные и три дополнительные системы непрерывных распределений в. Нешитого
- •VII. Оценивание параметров обобщенных распределений. Критерии для классификации кривых. Центральная предельная теорема
- •7.1. Метод наименьших квадратов
- •Значение функции распределения f(tc)
- •7.2. Метод наибольшего правдоподобия
- •7.3. Классический метод моментов
- •7.3.3. Симметричные распределения Ic-iiIc типов
- •7.3.4. Критерии для классификации кривых по методу моментов
- •7.4. Универсальный метод моментов
- •7.4.1. Законы распределения суммы независимых случайных величин
- •7.4.2. Центральная предельная теорема для трех систем непрерывных распределений
- •7.4.3. Законы распределения среднего выборочного
- •7.5. Общий устойчивый метод
- •VIII. Выравнивание и прогнозирование статистических распределений
- •8.1. Выбор системы непрерывных распределений для выравнивания статистических распределений
- •8.2. Построение выравнивающей кривой распределения по статистическим данным
- •8.2.1. Выравнивание по классическому методу моментов
- •8.2.2. Выравнивание по универсальному методу моментов
- •8.2.3. Выравнивание по общему устойчивому методу
- •8.2.4. Выравнивающее распределение суммы независимых случайных величин
- •8.2.5. Выравнивающее распределение среднего выборочного
- •8.3. Прогнозирование распределений
- •8.3.1. Первая система непрерывных распределений
- •8.3.2. Вторая система непрерывных распределений
- •Распределение населения страны по среднедушевому совокупному доходу, в % к итогу
- •8.3.3. Показатели стабильности и качества выборки
- •Iх. Статистический анализ точности и стабильности технологических процессов на базе обобщенных распределений
- •9.1. Показатели состояния технологического процесса
- •9.2. Пример статистической обработки результатов замера контролируемого параметра по программе
- •Контрольный листок Деталь №_____(название) ø50 мм ±0,012 Точность си 0,002 Дата________ Время_______
- •Отклонения от номинального размера детали «nn» ø50 ±0,012
- •Показатели статистического распределения ( )
- •9.3. Экономическая эффективность применения обобщенных распределений
- •9.4. Особенности применения статистических методов в области строительства
- •Х. Надежность как особый критерий качества
- •10.1. Некоторые показатели надежности для невосстанавливаемых объектов
- •Плотность распределения отказов
- •Интенсивность отказов
- •Гамма-процентный ресурс
- •10.2. Вычисление показателей надежности по обобщенным распределениям
- •Результаты наблюдений о наработке до отказа двигателей панелевозов (ti – пробег до отказа в тыс. Км.; mi – число панелевозов, имеющих наработку ti)
- •Показатели статистического распределения (snr2v97)
- •Логарифмическое распределение типа 1.1 с параметрами
- •XI. Временные (динамические) ряды
- •11.1. Методы выделения тренда
- •11.2. Построение кривых роста для выравнивания временных рядов
- •11.2.1. Построение кривых роста с заданными свойствами
- •11.2.2. Метод обобщения
- •11.2.3. Кривые роста на базе обобщенных распределений
- •11.3. Оценивание параметров кривых роста
- •11.3.1. Уравнение прямой
- •11.3.2. Экспонента
- •11.3.3. Обобщенная кривая роста
- •11.4. Прогнозирование временных рядов
- •11.4.1. Параметрический метод прогнозирования
- •11.4.2. Непараметрический метод прогнозирования
- •Заключение
- •Номограмма для установления типа выравнивающего распределения и нахождения оценок параметров k, u по методу моментов
- •Номограмма для установления типа выравнивающего распределения и нахождения оценок параметров k, u по общему устойчивому методу
- •Значения квантили в зависимости от уровня вероятности и числа степеней свободы r
- •Приложение 5
- •Литература
- •Содержание
6.1. Методы построения обобщенных распределений
Для получения универсальных (обобщенных) распределений используются различные методы. Наиболее известным является метод выравнивания дискретных распределений (метод К. Пирсона).
Другой широко известный метод – получение нового распределения как функции случайного аргумента с известным распределением.
В настоящем пособии и в других работах автора широко используется метод обобщения. Он позволяет подчас простыми и доступными средствами получать новое знание. Но для этого необходимо использовать различные его возможности. В одних случаях для получения более общих зависимостей достаточно воспользоваться одним из предлагаемых ниже приемов или их комбинацией:
введение новых параметров, объединяющих частные случаи в единое целое;
использование подходящего замечательного предела;
замена переменной;
разложение функции в степенной ряд;
получение новой более точной математической модели из двух менее точных и т.д.
В других более сложных случаях требуется введение новых понятий. Но здесь не существует готовых рецептов и успех зависит исключительно от изобретательности исследователя.
В результате обобщения должна получиться математическая модель, включающая как частные случаи исходные функции. Метод обобщения, несмотря на свою чрезвычайную простоту, позволяет строить универсальные математические модели, включающие как частные случаи наперед заданные зависимости, которые на практике реализуются чаще других.
Что касается обобщенных распределений, то они должны включать как частные случаи подавляющее большинство известных из теории вероятностей и математической статистики распределений, ибо только в этом случае будет достаточно высока вероятность нахождения такой выравнивающей кривой распределения, которая наилучшим образом описывает статистический ряд распределения.
Приведем примеры.
Произведение ряда натуральных чисел обозначается n! (читается «эн-факториал»).
Если построить график зависимости n!=f(n), то получим ряд точек. Для осуществления различных расчетов необходимо иметь непрерывную кривую, проходящую через эти точки.
Непрерывным аналогом и обобщением этой зависимости, включающей при целых n значения n!, является гамма-функция, введенная Л. Эйлером
.
При целых n
Гамма-функция обладает свойством
.
При . При n = 1 и n = 2 гамма-функция равна единице, поскольку 0!=1; 1!=1.
Рассмотрим другой пример, в котором для получения более общей зависимости используется замечательный предел и вводятся новые параметры.
Пусть требуется найти некоторое обобщенное уравнение, включающее как частные случаи уравнения прямой и экспоненты:
.
Используя замечательный предел
,
можем записать искомое уравнение в общем виде
,
где , u – новые параметры.
При u = 1, = 1 имеем уравнение прямой, а при u0, = 1 – уравнение экспоненты.
Полученное четырехпараметрическое уравнение имеет более широкие возможности по выравниванию и прогнозированию различных статистических зависимостей, поскольку оно включает как частные случаи кроме двух исходных множество других функций. Более того, на его основе можно получать новые уравнения, например, путем замены независимой переменной х на и т.д.
Рассмотрим еще примеры, в которых на базе двух приближенных равенств получается новое, более точное равенство.
Пусть имеется простейшая степенная функция
,
где параметр близок к нулю.
Найдем формулы для вычисления логарифма х и числа х по его логарифму.
Представим функцию в виде
и разложим ее в степенной ряд
Оставив в полученном ряде два первых члена, при малых имеем приближенные равенства
которые получаются при >0 и <0.
Найдем среднее геометрическое величины х при α→0:
.
Таким же образом можно получить среднее геометрическое величины :
.
Последняя формула позволяет весьма точно вычислять логарифмы чисел (например, от 1 до 1000 при = 0,0001).
Аналогично можно получить приближенную формулу для вычисления функции ех.
Известно, что
При 0 можем записать
откуда нетрудно получить следующую формулу
.
При х = 1, = 0,0001 эта формула дает оценку е = 2,71828181, т.е. с точностью до 7 верных цифр после запятой, в то время как по известному замечательному пределу при том же имеем только три верных цифры после запятой
.