2.4. Теорема гипотез (формула Бейеса)

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез Н₁,…,Н_n, при этом вероятности их равны Р(Н_i).

Кроме того, известны вероятности некоторого события А, которое может произойти совместно с каждой гипотезой.

Пусть в результате опыта наступило событие А.

Тогда распределение условных вероятностей гипотез при наступлении события А задается формулой Бейеса

.

Рассмотрим пример на формулу полной вероятности и формулу Бейеса, позаимствованный из [3].

Три станка выпускают одинаковые детали (см. табл.).

№ станка	Дневная выработка (деталей)	Вероятность гипотезы	% брака	Вероятность брака
1	m1=600	P(H1)=0,6	3	P1=P(A/H1)=0,03
2	m2=100	P(H2)=0,1	5	P2=P(A/H2)=0,05
3	m3=300	P(H3)=0,3	10	P3=P(A/H3)=0,10

На складе продукция трех станков смешивается. Далее выбирается случайным образом одна деталь.

Требуется:

а) найти вероятность того, что она бракованная.

Здесь используется формула полной вероятности.

Вероятности гипотез равны (см. табл.):

Вероятности брака при каждой гипотезе равны:

.

Тогда

.

Формула полной вероятности в данном примере определяет средневзвешенную вероятность брака по трем станкам. Действительно, записав ее в более простом виде, находим

.

б) Найти вероятность того, что случайно отобранная деталь, оказавшаяся бракованной, выпущена первым станком.

По формуле Бейеса находим

.

Формула Бейеса в данном примере определяет долю бракованных изделий (в общем объеме брака), изготовленных одним i-м станком.

.

То же для других станков

.

III. Дискретные случайные величины

Для случайных величин приняты обозначения Х, Y, Z,…

Возможные значения случайной величины Х обозначаются строчными буквами х₁,х₂,…,х_n.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями (например, число отказавших приборов) в отличие от непрерывной случайной величины, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка (например, время безотказной работы прибора).

Возможные значения прерывных (дискретных) величин могут быть заранее перечислены, а непрерывных – не могут быть перечислены.

3.1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Закон распределения случайной величины – это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Его можно задать таблично, аналитически и графически:

а) табличная форма закона распределения в виде ряда распределения

Х	х1	х2	…	хn
р	р1	р2	…	рn .

б) аналитическая форма

.

в) графическая форма – в виде многоугольника распределения.

На оси абсцисс откладываются значения случайной величины и строятся отрезки, равные по высоте вероятностям. Вершины отрезков для наглядности соединяются ломаной.