4.4. Примеры непрерывных распределений

4.4.1. Нормальный закон

Нормальный закон распределения задается плотностью

Кривая распределения имеет симметричную колоколообразную форму и характеризуется показателями: β₁=0; β₂=3.

Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, на интервал определяется по формуле

,

где - функция Лапласа. Здесь величина

представляет собой выраженное в долях «сигма» отклонение случайной величины Х от центра распределения а.

В зависимости от значения t вероятность попадания случайной величины Х на заданный интервал равна:

При t = 1 Р = 0,6827.

При t = 2 Р = 0,9545.

При t = 3 Р = 0,9973.

Таким образом, вероятность выхода значений случайной величины Х за пределы очень мала и равна 1–0,9973=0,0027. Это значит, что из 1000 значений случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в среднем только три могут выйти за границы трех стандартных отклонений (правило «трех сигма»). Это «правило» используется во многих практических расчетах, например, при статистическом анализе точности технологических процессов.

4.4.2. Показательный закон

Плотность вероятности и функция распределения задаются формулами

.

Это – один из простейших однопараметрических законов распределения.

4.4.3. Закон Вейбулла

Плотность вероятности и функция распределения задаются формулами

.

Из закона Вейбулла при следует показательный закон, а при - распределение Релея.

V. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Основные задачи математической статистики заключаются в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов [3, с. 187].

5.1. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Характеристики вариационного ряда

Группа объектов, объединенных по некоторому качественному или количественному признаку, называется статистической совокупностью. Различают генеральную и выборочную совокупности.

Выборочная совокупность (выборка) – это совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральная совокупность – совокупность всех возможных объектов, из которых производится выборка.

Объем выборки – число объектов в выборочной совокупности.

Репрезентативная (представительная) выборка – такая выборка, которая правильно отражает пропорции генеральной совокупности.

Методы отбора:

• простой случайной отбор – объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности. Если выбранный объект перед отбором следующего объекта возвращается в генеральную совокупность, то отбор называется повторным. Если не возвращается – бесповторным;

• типический отбор – объекты извлекаются из отдельной части генеральной совокупности (например, продукция, изготовленная на одном станке);

• механический отбор – выбирают каждый 10-ый, 100-ый и т.д. элемент генеральной совокупности;

• серийный отбор – объекты отбирают не по одному, а сериями.

Статистическая совокупность, упорядоченная по возрастанию или убыванию значения признака, называется вариационным рядом, а ее объекты – вариантами.

Вариационный ряд характеризуют показатели:

• среднее значение вариант ;

• медиана – варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант;

• размах варьирования R

.