- •В.В. Нешитой
- •Методы статистического анализа
- •На базе
- •Обобщенных распределений
- •Предисловие
- •Введение
- •I. Случайные события и их вероятности
- •1.1. Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность
- •1.2. Виды случайных событий
- •1.3. Определения вероятности
- •1.4. Основные формулы комбинаторики
- •II. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)
- •2.2. Теорема умножения вероятностей (независимых событий)
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •III. Дискретные случайные величины
- •3.1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •3.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •3.2.1. Математическое ожидание
- •3.2.2. Свойства математического ожидания
- •3.2.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •3.2.4. Свойства дисперсии
- •3.2.5. Среднее квадратическое отклонение
- •3.2.6. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •3.2.7. Моменты (начальные, центральные) дискретной случайной величины
- •4.2. Плотность распределения
- •4.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •4.4. Примеры непрерывных распределений
- •4.4.1. Нормальный закон
- •5.2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения
- •5.3. Статистические оценки параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность)
- •5.4. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •5.5. Метод наибольшего правдоподобия
- •VI. Обобщенные распределения. Системы непрерывных распределений
- •6.1. Методы построения обобщенных распределений
- •6.2. Построение системы непрерывных распределений методом обобщения
- •6.3. Классификация обобщенных распределений
- •Распределения группы а
- •Распределения группы б
- •Группа симметричных распределений
- •6.4. Распределения функций случайного аргумента
- •6.5. Три основные и три дополнительные системы непрерывных распределений в. Нешитого
- •VII. Оценивание параметров обобщенных распределений. Критерии для классификации кривых. Центральная предельная теорема
- •7.1. Метод наименьших квадратов
- •Значение функции распределения f(tc)
- •7.2. Метод наибольшего правдоподобия
- •7.3. Классический метод моментов
- •7.3.3. Симметричные распределения Ic-iiIc типов
- •7.3.4. Критерии для классификации кривых по методу моментов
- •7.4. Универсальный метод моментов
- •7.4.1. Законы распределения суммы независимых случайных величин
- •7.4.2. Центральная предельная теорема для трех систем непрерывных распределений
- •7.4.3. Законы распределения среднего выборочного
- •7.5. Общий устойчивый метод
- •VIII. Выравнивание и прогнозирование статистических распределений
- •8.1. Выбор системы непрерывных распределений для выравнивания статистических распределений
- •8.2. Построение выравнивающей кривой распределения по статистическим данным
- •8.2.1. Выравнивание по классическому методу моментов
- •8.2.2. Выравнивание по универсальному методу моментов
- •8.2.3. Выравнивание по общему устойчивому методу
- •8.2.4. Выравнивающее распределение суммы независимых случайных величин
- •8.2.5. Выравнивающее распределение среднего выборочного
- •8.3. Прогнозирование распределений
- •8.3.1. Первая система непрерывных распределений
- •8.3.2. Вторая система непрерывных распределений
- •Распределение населения страны по среднедушевому совокупному доходу, в % к итогу
- •8.3.3. Показатели стабильности и качества выборки
- •Iх. Статистический анализ точности и стабильности технологических процессов на базе обобщенных распределений
- •9.1. Показатели состояния технологического процесса
- •9.2. Пример статистической обработки результатов замера контролируемого параметра по программе
- •Контрольный листок Деталь №_____(название) ø50 мм ±0,012 Точность си 0,002 Дата________ Время_______
- •Отклонения от номинального размера детали «nn» ø50 ±0,012
- •Показатели статистического распределения ( )
- •9.3. Экономическая эффективность применения обобщенных распределений
- •9.4. Особенности применения статистических методов в области строительства
- •Х. Надежность как особый критерий качества
- •10.1. Некоторые показатели надежности для невосстанавливаемых объектов
- •Плотность распределения отказов
- •Интенсивность отказов
- •Гамма-процентный ресурс
- •10.2. Вычисление показателей надежности по обобщенным распределениям
- •Результаты наблюдений о наработке до отказа двигателей панелевозов (ti – пробег до отказа в тыс. Км.; mi – число панелевозов, имеющих наработку ti)
- •Показатели статистического распределения (snr2v97)
- •Логарифмическое распределение типа 1.1 с параметрами
- •XI. Временные (динамические) ряды
- •11.1. Методы выделения тренда
- •11.2. Построение кривых роста для выравнивания временных рядов
- •11.2.1. Построение кривых роста с заданными свойствами
- •11.2.2. Метод обобщения
- •11.2.3. Кривые роста на базе обобщенных распределений
- •11.3. Оценивание параметров кривых роста
- •11.3.1. Уравнение прямой
- •11.3.2. Экспонента
- •11.3.3. Обобщенная кривая роста
- •11.4. Прогнозирование временных рядов
- •11.4.1. Параметрический метод прогнозирования
- •11.4.2. Непараметрический метод прогнозирования
- •Заключение
- •Номограмма для установления типа выравнивающего распределения и нахождения оценок параметров k, u по методу моментов
- •Номограмма для установления типа выравнивающего распределения и нахождения оценок параметров k, u по общему устойчивому методу
- •Значения квантили в зависимости от уровня вероятности и числа степеней свободы r
- •Приложение 5
- •Литература
- •Содержание
8.2.2. Выравнивание по универсальному методу моментов
В табл. 8.2.1б приведена группировка колхозов и совхозов Республики Беларусь по урожайности картофеля в 1992 г. (по данным Госкомстата Республики Беларусь).
Пример 1.
Рассмотрим статистическое распределение хозяйств Гродненской области по урожайности картофеля в 1992 г. (см. табл. 8.2.4, графы 1 – 3).
Табл. 8.2.4
Распределение колхозов и совхозов Гродненской области по урожайности картофеля в 1992 г.
Сбор с 1 га ц |
Середина интерв. хi |
Число хозяйств |
Теорет. плотность p(хi) |
Теорет. частота mi=p(хi)Mh |
|
25- 50 50- 75 75-100 100-125 125-150 150-175 175-200 200-225 225-250 250-275 |
37,5 62,5 87,5 112,5 137,5 162,5 187,5 212,5 237,5 262,5 |
57 85 67 28 14
|
0,000217 0,002681 0,008678 0,011729 0,008973 0,004739 0,001965 0,000696 0,000223 0,000067 |
60,746 82,103 62,811 33,173 13,755
|
0,025
0,231 0,102 0,279 0,807 0,004
0,175
|
|
|
|
|
Требуется: используя универсальный метод моментов, найти выравнивающее распределение, оценить его параметры, рассчитать значения плотности в серединах каждого интервала, оценить по критерию «хu-квадрат» степень близости выравнивающей кривой к статистическому распределению.
Решение.
Пусть выравнивающее распределение относится к первой системе непрерывных распределений.
В этом случае установление типа выравнивающей кривой осуществляется так же, как и по классическому методу моментов, т.е. вычисляются среднее, центральные моменты (2 – 4)-го порядков, показатели . Для расчетов используем программу .
По статистическим данным табл. 8.2.4 находим:
С помощью номограммы (Приложение 2) устанавливаем, что выравнивающее распределение относится ко II типу, поскольку , и задается обобщенной плотностью р(х).
Оценку параметра k можно найти по той же номограмме.
В первом приближении имеем: . Более точное значение параметра k, полученное по программе, равно k = 3,10842. Оценки остальных параметров и нормирующего множителя равны:
Они были вычислены по формулам (7.4.11):
,
где
;
(см. табл. 6.3.3).
Для вычисления величин использовались формулы (7.4.13), (7.4.14).
Выравнивающее распределение задается плотностью
.
В табл. 8.2.4. в графе 4 приведены расчетные значения плотности распределения в серединах интервалов р(хi), а в графе 5 – теоретические частоты mi.
Критерий согласия К. Пирсона оказался равным: χ2 = 1,623.
По таблице χ2 – распределения при числе степеней свободы r=7–3–1=3 и χ2 =1,623 находим вероятность того, что за счет случайных причин мера расхождения между статистическим и выравнивающим распределениями будет не менее 1,623. Эта вероятность оказалась достаточно высокой – Р(χ2)=0,658. Поэтому нет оснований отклонять гипотезу о согласии выравнивающего распределения II΄ типа с эмпирическими данными.
Результаты расчетов представлены на рис. 8.2.2.
Рис. 8.2.2. Распределение колхозов и совхозов Гродненской области по урожайности картофеля в 1992 г.
На рисунке указаны нижняя и верхняя границы 90%-го интервала урожайности: хн = 68,79; хв = 185,51. Это значит, что 90% хозяйств имели урожайность картофеля на интервале хн<х<xв при средней урожайности .
Пример 2.
Табл. 8.2.5
Интервальный ряд распределения предела прочности на сжатие портландцементного раствора 28-дневного возраста [8, c.269]
Интервал кг/см2 |
Середина интерв. хi |
Число хозяйств |
Теорет. плотность p(хi) |
Теорет. частота mi=p(хi)Mh |
|
210-230 230-250 250-270 270-290 290-310 310-330 330-350 350-370 370-390 390-410 410-430 430-450 |
220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 |
5 21 59 135 218 227 186 88 36 16
|
0,000201 0,000915 0,003035 0,006982 0,010863 0,011496 0,008568 0,004747 0,002077 0,000761 0,000245 0,000072 |
4,02 18,30 60,70 139,64 217,26 229,92 171,36 94,94 41,54 15,22
|
0,24 0,40 0,05 0,15 0,00 0,04 1,25 0,51 0,74 0,04 1,12 |
|
|
|
|
Требуется: используя универсальный метод моментов, по статистическим данным табл. 8.2.5 (графы 1-3) найти выравнивающее распределение, оценить его параметры, рассчитать значения плотности в серединах каждого интервала, оценить по критерию «хu-квадрат» степень близости выравнивающей кривой к эмпирическому распределению. Вычислить нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала при доверительной вероятности Р = 0,9545.
Решение. Выравнивающее распределение задается первой системой непрерывных распределений. По программе находим:
.
Выравнивающее распределение относится к III типу и имеет оценки параметров:
Параметр β вычислялся по формуле
,
где .
Произведение αu – по формуле
,
где
.
Нормирующий множитель
.
Выравнивающее распределение задается плотностью
.
В табл. 8.2.5. в графе 4 приведены расчетные значения плотности распределения в серединах интервалов, а в графе 5 – теоретические частоты mi. Критерий согласия К. Пирсона оказался равным: . При числе степеней свободы r=11–4–1=6 это соответствует вероятности , что значительно больше обычно принимаемого уровня значимости α = 0,05. Поэтому нет оснований отклонять гипотезу о согласии выравнивающего распределения III типа с эмпирическими данными.
Верхняя и нижняя границы интервала при Р = 0,9545 равны: хн=248,7699; хв=390,2907. При этом ширина интервала равна 141,5207 кг/см2 и составляет 4,03342 средних квадратических отклонений. Функция распределения F(хн)=0,02275; F(xв)=0,97725.