Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет - УПИ
О.И.Никонов
А.В.Фролов
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ФИНАНСОВОГО АНАЛИЗА
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Рекомендовано методическим советом ГОУ ВПО УГТУ-УПИ
в качестве учебно-методического пособия для студентов,
обучающихся по специальности 080116 – Математические методы в экономике
Екатеринбург 2007
УДК
ББК
Рецензенты:
Кафедра «Информационные системы в экономике» Уральского государственного экономического университета (зав. кафедрой проф., д.ф.-м.н. Шрориков А.Ф.); в.н.с. ИММ УрО РАН, проф., доктор физ.-мат. наук Филиппова Т.Ф.
Научный редактор: проф., доктор физ-мат. наук Максимов В.И.
О.И. Никонов, А.В. Фролов
Математические методы финансового анализа: учебно-методическое пособие/О.И. Никонов; Фролов А.В. – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2007. – 55 с.
В пособии излагаются основные понятия и факты курса «Математические методы финансового анализа», предназначенного для студентов всех форм обучения (очной, заочной, очно-заочной, экстерната) по специальности 081600 - «Математические методы в экономике», независимо от специализации. Основное внимание уделяется решению примеров и задач по тематике курса. Пособие может быть полезным как студентам, так и преподавателям, читающим названный курс.
Библиогр. 20. Рис.10
Подготовлено кафедрой «Анализа систем и принятия решений»
© ГОУ ВПО «Уральский государственный
технический университет – УПИ», 2007
Содержание
1. Простые, сложные, непрерывные проценты 4
2. Поток платежей 12
3. Дюрация потока платежей 24
4. Теория портфеля. Задача Г. Марковица 27
5. Задача Дж. Тобина и теория идеального 32
конкурентного рынка 32
6. Введение в теорию опционов 39
литература 53
1. Простые, сложные, непрерывные проценты
Расчетная формула правила простых процентов имеет вид
(1.1)
Здесь
- процентная ставка на единичный период
времени (год, квартал, месяц и др.);
-
время в соответствующих единицах;
- сумма в денежных единицах на начальный
момент времени;
-
наращенная сумма в момент времени
.
Если предположить, что в конце каждого единичного периода происходит перевложение капитала, т.е. деньги изымаются и вкладываются вновь под ту же процентную ставку, то придем к формуле сложных процентов
(1.2)
где
-
число периодов, определяющее
продолжительность инвестиций.
Например, вложить на
год сумму
$
под 20% годовых означает получить через
год
.
Если ту же сумму вложить на два года при
начислении процентов один раз в год, то
получим
При расчете по формуле простых процентов
получим
В различных схемах начисления процентов обычно указывается номинальная процентная ставка, исчисляемая в процентах годовых, в расчетах используют ее представление в виде десятичной дроби. Так, например, 20% годовых соответствует r=0.2, 15% - r=0.15 и т.д.
Номинальная ставка
на более короткий промежуток (полугодие,
квартал, месяц, день) определяется по
номинальной годовой ставке в соответствии
с расчетом по формуле простых процентов.
Так, для 20% годовых имеем
– полугодовая –10%,
– квартальная –5%,
– месячная –
.
В общем случае, на Р
дней,
или
.
Эти ставки еще называют релятивными
или относительными.
По номинальным ставкам
определяются значения капитала,
соответствующие различным схемам
начисления процентов. Так, при расчетах
по правилу сложных процентов с начислением
более одного раза в году, определяют
базовый или расчетный период
– в долях года (0,5 – полгода, 0,25 – квартал
и т.п.),
– число расчетных периодов в году.
Далее, номинальная годовая ставка r
переводится в относительную
.
Пусть время t
(в годах) кратно расчетному периоду
(целое число). Тогда сумма, накопленная
за время
,
равна
.
(1.3)
Если неограниченно
увеличивать число периодов реинвестирования,
то
и приходим к формуле непрерывных
процентов
.
(1.4)
Если в случае
многократного начисления процентов
(капитализации) в год
– номинальная ставка на расчетный
период, то реальная или эффективная
годовая ставка определяется формулой
(1.5)
при капитализации m раз в году и
(1.6)
– при капитализации по формуле непрерывных процентов.
Задачи с решениями
Задача 1.1 Номинальная ставка 20% годовых. Определить, какую сумму получит инвестор при вкладе 10000 руб. по этой ставке через 1 год, 2 года, 3 года по формуле
А) простых процентов;
В) при капитализации раз в год, раз в полгода, раз в квартал;
С) при непрерывном начислении процентов.
Рассчитать реальную (эффективную) годовую ставку для этих случаев.
Решение.
А) По формуле (1.2) имеем:
(руб.);
(руб.);
(руб.).
В) Через 1год инвестор будет иметь
(руб.) при капитализации раз в год;
(руб)
– при капитализации раз в полгода;
(руб.)
– при капитализации раз в квартал.
Через два года вложенная сумма будет следующей:
(руб.)
при капитализации раз в год;
(руб.)
– при капитализации раз в полгода;
(руб.)
– при капитализации раз в квартал.
Аналогично вычисляются суммы, соответствующие трем годам :
(руб.)
при капитализации раз в год;
(руб.)
– при капитализации раз в полгода;
(руб.)
– при капитализации раз в квартал.
С) При непрерывном начислении процентов получим:
1.2214=12214;
1.49182=14918;
1.82212=18221.
Реальные (эффективные) годовые процентные ставки для рассмотренных случаев определяются из соотношений (1.5)-(1.6):
.
Задача 1.2 Банк предлагает 2 вида вкладов:
|
1 вклад |
2 вклад |
Капитализация |
Каждые полгода |
Нет (Простой процент) |
Срок вклада |
1 год |
2 года |
Два вкладчика выбрали соответственно 1-й и 2-й вклад и, дождавшись окончания срока вклада, забрали свои денежные средства из банка. Исходная сумма, положенная на 1-й вклад была на 28,45% больше, суммы, положенной на 2-й вклад. Итоговая сумма у обоих вкладчиков получилась одинаковой. Известно, что разница полугодовых процентных ставок равна 3%, и величина этих ставок не превышает 50% годовых.
По какому вкладу процентная ставка выше, каковы полугодовые процентные ставки?
Решение.
По формуле сложного и простого процентов получаем суммы по вкладам на момент закрытия:
где
S01, S02 – суммы на 1 и 2 вкладах на момент открытия,
S11, S12 – суммы на 1 и 2 вкладах на момент закрытия,
r1, r2 – полугодовые процентные ставки по 1 и 2 вкладу,
m=2 и n=4 – количества полугодий с момента открытия до закрытия вкладов.
Воспользуемся следующими условиями:
Рассмотрим первый
случай, когда
:
Действительных корней у последнего уравнения нет.
Рассмотрим второй
случай, когда
:
Уравнение имеет два решения
Ответ:
