3. Дюрация потока платежей

Вычислим производную приведенной стоимости потока платежей :

.

Разделим обе части равенства на и умножим на :

, или ,

где .

Дюрацией потока платежей называется величина

.

Cмысл и свойства дюрации:

1. Дюрация – эластичность приведенной стоимости относительно изменения процентной ставки.

2. Дюрация – средняя продолжительность потока платежей.

,

Если поток состоит из единственного платежа, осуществляемого в момент t=t_*

( Ct = 0 при ), то .

Задачи с решениями

Задача 3.1

Через 2 года необходимо покрыть долг в размере $1 000. На рынке имеются облигации со сроком погашения через 1 год (А) и через 3 года (Б). Облигации А погашаются по $7, Б – по $10. Процентная ставка r₀ = 10%.

Вопрос: Рассчитать количество облигаций А и Б, необходимых для покрытия долга, а так же для хеджирования риска изменения процентной ставки.

Решение.

, где

C1 – количество облигаций типа А, С2 – количество облигаций типа Б, необходимых для хеджирования риска изменения процентной ставки; t*1 – момент погашения облигации А, t*2 – момент погашения облигации Б, С* - долг, t* - момент погашения долга.

Подставим значения:

С₁ = 455, С₂ = 550,

Стоимость облигаций А – 7$, следовательно их необходимо 65 штук, стоимость облигаций Б – 10$, следовательно их необходимо 55 штук.

Ответ: необходимо 65 облигаций А и 55 облигаций Б.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.2

Пусть . Инвестор имеет долг . Есть возможность купить облигации двух видов:

а) с выплатой при и номиналом ;

б) с выплатой при и номиналом .

Безрисковая процентная ставка .

Вопрос: сколько облигаций а) и б) нужно иметь, чтобы купировать долг и хеджировать риск изменения процентной ставки?

4. Теория портфеля. Задача г. Марковица

Предполагается, что имеется N рисковых активов (ценных бумаг, акций). Доходность отдельного актива (ценной бумаги) трактуется как случайная величина – .

Ожидаемая доходность определяется как математическое ожидание – , вектор доходностей – .

Риск, связанный с отдельной бумагой формализуется как среднеквадратичное отклонение – .

Инвестиционный портфель:

– вектор долей капитала:

Случайная доходность портфеля определяется соотношением

Риск портфеля:

,

Доходность портфеля:

.

Задача Марковица: (найти минимум) при ограничениях:

Учитывая, что задачу можно записать в виде:

,

,

где

Задачи с решениями

Задача 4.1

Решить задачу Марковица для случая двух рисковых активов, при заданных и - ожидаемых значениях доходностей, дисперсиях и и - коэффициенте корреляции случайных доходностей активов.

Решение.

Рассмотрим задачу Марковица

для случая, когда вектор имеет размерность, равную 2; матрица - .

Для двух рисковых активов имеем:

.

Расписывая первое соотношение задачи подробнее, получим:

,

где

С учетом приведенных соотношений задача записывается в виде

или

(4.1)

Поскольку число ограничений равно числу переменных, задача на поиск минимума вырождается. Предполагая, что , из второго равенства в (4.1) выражаем и, подставляя в первое соотношение, находим связь между параметрами и для решений задачи Марковица в рассматриваемом случае.

.

Функция, стоящая в правой части равенства, может быть приведена к виду , где , . Если последние неравенства – строгие, то , и значения риска может быть определено для всех значениях .

Портфель y называется эффективным (не улучшаемым, Парето-оптимальным), если не существует такого портфеля y* , что μ(y*) ≥ μ(y) и σ(y*) ≤ σ(y), причем одно из неравенств – строгое.

Рис. 4.1 Эффективные портфели рисковых инвестиций