§11. Операторы координат, импульсов и их функций

 Литература: [8], [3], [1], [7].

Чтобы с помощью операторов получать наблюдаемые на опыте результаты, нужно установить, какие именно операторы следует сопоставлять тем или иным величинам. Установим вначале, какой оператор следует сопоставлять радиус-вектору частицы . Для этого воспользуемся формулами (9.1), по которым вычисляются средние значения. В координатном представлении эти формулы дают:

= ==.

Из последнего равенства следует, что в качестве оператора следует взять оператор умножения на. Фактически установлен видоператоров координат: =x, =y, = z.

Оператор импульса подбирается, исходя из того, что волна де Бройля, описывающая состояние с определенным импульсом, должна быть собственной функцией оператора, соответствующей собственному значению:

= , = A exp, = →

=–i ħ=–i ħ. =–i ħ, = –i ħ, = –i ħ.(11.1)

Итак, установлены операторы координат и импульсов. Они удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:

[x ] =i ħ, [x ] = [] = [x y]=0, (11.2)

а также аналогичным выражениям с заменой x→y→z→x.

Перестановочные соотношения имеют большое значение в квантовой механике. В соответствии с теоремой о коммутирующих операторах из (11.2) следует, что несовместными величинами являются координата и соответствующая ей проекция импульса. Для несовместных величин имеет место соотношение неопределенностей. Оно устанавливается следующей теоремой.

Если операторы величин F и G связаны с некоторым самосопряженным оператором равенством [] =i , то для неопределенностей этих величинF и G имеет место соотношение F G ≥ K. (11.3)

Смысл обозначений в (11.3) следующий: K= ,F = , где=–F, F= , величинаG аналогична F.

Для доказательства теоремы следует воспользоваться вспомогательным вектором  = ( –i ), где  – действительное число, а i – мнимая единица. Скалярный квадрат этого вектора положителен. Он является функцией параметра : =f(^F² + K + G². При получении этого выражения следует учесть, что операторы исвязаны такими же соотношениями, как и операторыи. Квадратный трехчленf( положителен, если его дискриминант меньше нуля. Отсюда и получается соотношение (11.3).

Применение данной теоремы к операторам координат и импульсов, для которых справедливы перестановочные соотношения (11.2), дает соотношение неопределенностей Гейзенберга x p_x ≥ ħ / 2.

Построение операторов величин, которые в классической физике выражаются через координаты и импульсы, осуществляется по следующему правилу: соотношения между операторами физических величин такие же, как и между соответствующими величинами в классической физике. Это правило вместе с другими постулатами подтверждается согласием теории с практикой. Руководствуясь данным правилом, получим выражения для операторов потенциальной функции , кинетической энергиии оператора Гамильтона(гамильтониана):

=U(,==,=–+(.(11.4)

? Контрольные вопросы

1. Расскажите о подборе операторов координат.

2. Получите выражение для оператора импульса.

3. Какие из операторов координат и импульсов коммутируют, а какие нет?

4. Расскажите о физических следствиях перестановочных соотношений (11.2).

5. Что является обобщением соотношения неопределенностей Гейзенберга?

6. Какой точный смысл имеют величины, входящие в соотношение неопределенностей Гейзенберга?

7. Запишите оператор Гамильтона.

8. Совместны ли кинетическая и потенциальная энергии?



Задания

Д. 11.1. Коммутационные соотношения для операторов координат и импульсов.

Д. 11.2. Соотношение неопределенностей произвольных несовместных величин.

11.2. Состояние электрона описывается функцией

n =

n = 1, 2, …

sin, если 0  x  a

0, если x< 0, x > a.

Найти среднюю кинетическую энергию электрона в этом состоянии.