§2. Равновесное излучение. Гипотеза Планка

 Литература: [2], [5].

Не смогла электронная теория Лоренца объяснить и закономерности теплового излучения. Попытки решить проблему теплового излучения привели к появлению в физике качественно новой идеи – идеи квантования и новой фундаментальной константы – постоянной Планка.

Исследуя свойства теплового излучения, Кирхгоф установил, что отношение энергии, излучаемой телом с единицы поверхности, к энергии, поглощаемой им, является для всех тел одной и той же (универсальной) функцией частоты  и температуры T (закон Кирхгофа). Следовательно, эта функция характеризует само излучение, а не излучающее тело. Чтобы установить вид этой функции, нужно исследовать излучение абсолютно черного тела, то есть такого, у которого поглощательная способность равна единице (все падающее на него излучение поглощается). Таким образом был экспериментально установлен вид спектральной светимости абсолютно черного тела R(,T), то есть энергии, которая излучается единицей поверхности абсолютно черного тела по всем направлениям в единичном интервале частот.

Можно показать, что спектральная светимость абсолютно черного тела связана со спектральной объемной плотностью самого излучения (,T) простым соотношением: (,T) = 4 R(,T) / c, (2.1)

где c – скорость света. Аналогичным образом связаны и интегральная объемная плотность излучения u и интегральная светимость R:

u (T) = , R(T) = , u(T) = 4 R(T) / c. (2.2)

Температурные зависимости величин u и R подчиняются закону Стефана–Больцмана:

u(T) =  R(T) = ^_, (2.3)

где  = 5, 67·10^–8 Вт / (м² К⁴) – постоянная Стефана–Больцмана, а постоянная  = 4  / c.

Задача теории – получить согласующиеся с экспериментом функции (,T) и u (T). Релей и Джинс, используя положение классической физики о том, что на каждую волну равновесного излучения приходится в среднем энергия k T, получили формулу: (,T) = k T, (2.4)

Формула Релея–Джинса (2.4) согласуется с экспериментом только при малых значениях , а при больших частотах дает неограниченное возрастание (,T), что немыслимо для равновесного излучения («ультрафиолетовая катастрофа»).

М. Планк вначале эмпирическим путем подобрал подходящую формулу для (,T), а затем показал, что эта формула получается, если предположить, что электромагнитные волны, излучаемые атомами, могут принимать лишь значения энергии, кратные минимальной порции, пропорциональной частоте: ₀ = h . Так получилась знаменитая формула Планка для спектральной плотности равновесного излучения:

(,T) = . (2.5)

Для сравнения с экспериментом вместо функции (,T) удобнее использовать функцию _(,T), которая связана с (2.5) соотношением: _(,T) d = (,T) d.

Введенный Планком коэффициент пропорциональности h (постоянная Планка) может быть вычислен путем сопоставления формулы (2.5) с опытом. Так в физике появилась фундаментальная константа, характерная для квантовой физики.

? Контрольные вопросы

1. Что такое равновесное излучение?

2. Расскажите о законе Кирхгоффа и об абсолютно черном теле.

3. Что такое спектральная плотность равновесного излучения? Как она получается из опыта?

4. Нарисуйте графики зависимости спектральной плотности равновесного излучения (,T) и _(,T) а также графики по формуле Рылея–Джинса.

5. Расскажите об ультрафиолетовой катастрофе.

6. Как Планку удалось получить формулу, правильно описывающую спектральную плотность равновесного излучения?



Задания

Д.2.1 Спектральная плотность равновесного излучения. Формула Планка. Равновесное излучение. Абсолютно черное тело. Зависимость спектральной плотности равновесного излучения от частоты и от длины волны. Закон смещения Вина. Закон Стефана-Больцмана. Формула Релея–Джинса. Формула Планка.

2.1. Получите из формулы Планка закон Стефана–Больцмана. Вычислите постоянную Стефана–Больцмана , входящую в (2.3).

2.2. Получите из формулы Планка закон смещения Вина. Найдите постоянную Вина b = T m, где m – длина волны, соответствующей максимуму спектральной плотности _(,T).

b = = 2,9·10^–3 м К, где x – корень уравнения x = 5 (1 – e^–x ).