- •Б. В. Селюк
- •Введение
- •I. Предпосылки создания квантовой механики
- •§1. Классическая электронная теория
- •§2. Равновесное излучение. Гипотеза Планка
- •§3. Корпускулярные свойства света. Теория атома по Бору
- •§4. Волновые свойства частиц. Корпускулярно-волновой дуализм
- •II. Описание состояний микрообъектов
- •§5. Состояния микрочастиц
- •§6. Свойства амплитуд состояний
- •§7. Векторы состояний
- •III. Операторы и наблюдаемые
- •§8. Операторы
- •§9. Наблюдаемые
- •§10. Матричное и координатное представления
- •§11. Операторы координат, импульсов и их функций
- •§12. Операторы момента импульса
- •§13. Спин
- •IV. Эволюция состояний
- •§14. Уравнение Шредингера. Стационарные состояния
- •§15. Уравнение движения в форме Гейзенберга. Интегралы движения
- •§16. Переход от квантовых уравнений движения к классическим
- •§17. Квазистационарные состояния. Соотношения неопределенностей для энергии и времени
- •V. Простешие случаи движения §18. Свободное движение микрочастиц
- •§19. Движение частиц в прямоугольной потенциальной яме
- •§20. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект
- •§21. Линейный гармонический осциллятор
- •VI. Движение в центральном поле §22. Ротатор. Собственные функции и собственные значения операторов орбитального момента импульса
- •§23. Задача о движении двух частиц.
- •§24. Решение квантово-механической задачи об атоме водорода
- •§25. Энергетический спектр и пространственная структура атома водорода. Влияние спина электрона на энергетический спектр
- •VII. Теория возмущений. Атомы и молекулы §26. Теория стационарных возмущений
- •§27. Теория нестационарных возмущений
- •§28. Принцип неразличимости одинаковых частиц
- •§29. Атом гелия
- •§30. Периодическая система элементов д.И. Менделеева
- •§31. Молекула водорода
- •§32. Природа химических связей
- •Заключение
- •Литература
- •Оглавление
III. Операторы и наблюдаемые
§8. Операторы
Литература: [8], [3], [1], [7].
Во всех физических уравнениях присутствуют некоторые математические действия, производимые над величинами, характеризующими состояния описываемых объектов. Действия над математическими объектами, а также символы этих действий называют операторами. Аналогично и в уравнениях квантовой механики фигурируют операторы. Они предполагают действия над квантово-механическими векторами состояний или над амплитудами состояний, а не только над функциями и числами.
В квантовой механике за редким исключением символ оператора ставится перед тем математическим объектом, на который направлено действие оператора: = ; (x) = x. Примеры исключений: * = 2 = и др.
Оператор называют линейным, если для любых 1 и 2, а также произвольных комплексных чисел a1 и a2 выполняется условие:
(1 a1+ 2 a2) = 1 a1+ 2 a2. (8.1)
Здесь и далее записываются соотношения для операторов, действующих на векторы состояний. Аналогичные соотношения и свойства относятся и к операторам, действующим на волновые функции. В этом случае под символом следует понимать соответствующую функцию . В квантовой механике используются только линейные операторы, поскольку их применение к векторам состояния не нарушает принцип суперпозиции: все полученные векторы, как и исходные, могут быть представлены линейной комбинацией других.
Оператор считают равным нулю, если его действие на любой вектор дает нуль-вектор = 0. Нуль-вектор определяется равенством:
+ 0 = .
Единичный оператор оставляет без изменения произвольный вектор: = . Примером единичного оператора может служить выражение =, поскольку в случае полного базисаei любой вектор A можно представить в виде: A = . Поэтому равенство=является условием полноты базиса.
Равными называют операторы =, применение которых к произвольному вектору приводит к одинаковым результатам: равенство = должно выполняться для любого .
Аналогично алгебре чисел и функций построена и алгебра операторов.
Под суммой операторов и понимают оператор +, если для любого имеет место равенство (+) = + . Подобно этому для произведения операторов должно выполняться соотношение () = (). Сумма операторов коммутативна, а произведение, вообще говоря, нет: . Если же операторы коммутируют, то для них – = . Оператор [] = – называют коммутатором. Если коммутатор операторов равен нулю, то эти операторы коммутируют.
Все определения и соотношения для операторов , действующих в cket-пространстве, переносятся и на операторы +, действующие в сопряженном пространстве. Если = 1, то += 1. Оператор + называют оператором, сопряженным оператору . Для сопряженного оператора справедливо равенство + = *. (8.2)
Можно показать, что
(+)+ = + + + и что ()+ = ++. (8.3)
Оператор , для которого выполняется соотношение
= * , или = +, (8.4)
называют самосопряженным, или эрмитовым. Если поменять обкладки эрмитова оператора, то получается комплексно сопряженная величина. Последнее равенство кратко записывают в виде = +. Не следует при этом забывать, что операторы и + действуют в разных пространствах.
Сумма эрмитовых и произведение эрмитовых коммутирующих операторов являются эрмитовыми операторами.
При применении оператора к вектору состояния может получиться тот же вектор, умноженный на некоторое число:
= F. (8.5)
Число F, удовлетворяющее равенству (8.5), в котором – отличный от нуля вектор состояния, называется собственным значением оператора , соответствующим собственному вектору , а этот вектор – собственным вектором, соответствующим данному собственному значению. Если в формуле вместо вектора стоит волновая функция , то ее называют собственной функцией оператора , соответствующей собственному значению F.
Бывает так, что одному и тому же собственному значению F соответствует несколько линейно не зависимых векторов или функций. Тогда это значение называют вырожденным, а число соответствующих состояний – кратностью вырождения. Линейная комбинация векторов (или функций), соответствующих собственному значению F, также является собственным вектором (функцией) оператора для того же собственного значения F.
В квантовой механике используются самосопряженные операторы благодаря их свойству, выражаемому следующей теоремой. Собственные значения самосопряженных операторов действительны, а их собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Ограничимся доказательством в отсутствии вырождения. Применим определение (8.5) к собственному значению Fi , а сопряженное с (8.5) выражение – к Fj: i = i Fi, j+ = Fj*j. (8.6)
Умножив первое равенство слева на j, а второе – справа на i, получим после вычитания и учета самосопряженности оператора:
(Fi – Fj*) ji = ji – j+i = 0. (8.7)
Если i = j, то из (8.7) следует Fi = Fj*, а для i j равно нулю скалярное произведение ji, то есть векторы j и i ортогональны.
На основании этой теоремы можно утверждать, что множество собственных векторов самосопряженного оператора образует ортонормированный полный базис.
? Контрольные вопросы
Что такое оператор? Приведите примеры операторов.
Дайте определение линейного оператора.
Какие операторы называют нулевыми, единичными, равными?
Дайте определение суммы и произведения операторов.
Что такое коммутатор?
Расскажите о сопряженном операторе.
Дайте определение самосопряженного оператора.
К
акими свойствами обладают собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора?
Задания
Д. 8.1. Теорема о собственных значениях и собственных функциях самосопряженных операторов.
8.1. Докажите, что если [] =, то [2] = 2 .
8.2. Докажите, что .
8.3. Докажите соотношение (8.1).
8.4. Докажите соотношения (8.2).
8.5. Докажите, что сумма самосопряженных и произведение самосопряженных коммутирующих операторов являются самосопряженными операторами.
8.6. Докажите, что линейная комбинация векторов, соответствующих собственному значению F, также является собственным вектором оператора для того же собственного значения F.