§6. Свойства амплитуд состояний

 Литература: [8], [3], [7].

Какими свойствами должны обладать введенные для описания состояния s амплитуды Bs? Поскольку они пропорциональны вероятностям W_s(B) тех или иных значений величин B в данном состоянии, то можно записать: Bs² = N W_s(B), (6.1)

где N – произвольное положительное число. Сложив все равенства (6.1), получим: =N =N, (6.2)

так как обнаружение хоть какого-то значения переменных B – событие достоверное. Коэффициент называетсянормой амплитуды состояния. Из-за произвола числа N амплитуды состояния определяются с точностью до произвольного комплексного множителя k, то есть амплитуды k Bs и Bs описывают одно и то же состояние, так как дают те же самые значения W_s(B).

Если переменные B имеют непрерывный спектр значений, то амплитуда состояния представляет собой волновую функцию Bs = _s(B). В этом случае квадрат модуля амплитуды характеризует плотность вероятности _s(B) определенного значения B:

Bs² = _s(B)² = N = N _s(B). (6.3)

Здесь квадрат нормы волновой функции N = .(6.4)

Интегрирование производится по всей области значений переменных B.

Так как амплитуды состояния определяются с точностью до произвольного множителя, то норму можно чаще всего сделать равной единице, что упрощает формулы (6.1) и (6.3). Такая процедура называетсянормировкой амплитуды состояния на единицу. В случае непрерывного спектра нормировка на единицу не возможна, если интеграл (6.4) равен бесконечности.

В соответствии с физическим смыслом амплитуды состояния волновая функция должна удовлетворять стандартным условиям: быть непрерывной, однозначной и конечной.

Чтобы амплитуды состояния обеспечивали вероятностное поведение микрочастиц, они должны удовлетворять следующему принципу суперпозиции. Если микрообъект может находиться в состояниях, описываемых амплитудами BA₁, BA₂, …BA_i, то он может находиться и в состоянии, описываемым линейной комбинацией этих амплитуд:

Bs = , (6.5)

где c_i – произвольные комплексные числа.

Соотношение (5.1) представляет собой частный случай формулы (6.5) применительно к интерференции электронов на двух щелях. Так что принцип суперпозиции отражает корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц. В отличие от суперпозиции интерферирующих волн, в которых колеблющиеся величины могут принимать любые значения, суперпозиция амплитуд относится и к таким состояниям, в которых величины принимают дискретный ряд значений.

Принцип суперпозиции дополняется принципом умножения амплитуд, отражающим теорему об умножении вероятностей:

Bs_i = BA_i A_is. (6.6)

Это равенство означает, что амплитуда перехода из состояния s в состояние B через промежуточное состояние A_i равна произведению амплитуды перехода из s в A_i и амплитуды перехода из A_i в B. Слагаемые в (6.5) и представляют собой амплитуды перехода из s в B через промежуточные состояния A_i. Так что c_i = A_is и получается правило композиции амплитуд:

Bs = . (6.7)

Амплитуда Bs составляется из амплитуд некоторых базисных состояний BA_i.

Можно ли применить формулу (6.7) для произвольного состояния Bs? Для некоторых базисов BA_i это можно сделать. Такие базисы называют полными. Для того, чтобы базис был полным, необходимо выполнение условий:

A_jA_i = _ij, где _ij = 1, если i = j и _ij = 0, если i j. (6.8)

Базис, удовлетворяющий условиям (6.8) называют ортонормированным.

Чтобы убедиться в справедливости соотношений (6.8) для полного базиса, применим формулу (6.7), справедливую для произвольного состояния, к амплитуде перехода в базисное состояние A_j:

A_js = . (6.9)

Из этого равенства и следует (6.8).

В дальнейшем мы будем иметь дело с состояниями, образующими ортонормированные и полные базисы. По таким базисам можно разложить произвольное состояние, применив правило композиции амплитуд (6.7). Это правило позволяет также перейти от одного представления состояния s к другому: Зная все амплитуды вероятности A_is, можно получить амплитуду состояния Bs.

На амплитуды вероятности накладывается еще одно требование – условие эрмитовой симметрии: BA* = AB. (6.10)

Это условие отражает обратимость процессов в микромире: вероятность перехода в состояние B из состояния A равна вероятности обратного перехода. С помощью (6.10) и правила композиции более компактно и естественно можно записать условие нормировки состояния на единицу:

N = ===ss = 1.

Это условие вполне естественно, поскольку амплитуда ss описывает достоверное событие.

Правило композиции применяется с некоторыми коррективами и в случае, когда базисные состояния образуют несчетное множество. В качестве таких состояний часто используют волны де Бройля:

==A exp. (6.11)

Поскольку импульс может быть любым, то число волн де Бройля не ограничено. Корректировка применения правила композиции для несчетного множества базисных состояний сводится к замене суммирования в формуле (6.7) к интегрированию. Кроме того, в условии полноты базиса (6.8) вместо символа Кронекера используется функция Дирака:

= .(6.12)

Функция Дирака векторного аргумента равна произведению функций Дирака от проекций этого аргумента:

(p_x) (p_y) (p_z). (6.13)

Для одномерной функции Дирака справедливы соотношения:

=f (0), (6.14)

(x) = . (6.15)

Чтобы обеспечить для волн де Бройля (6.11) необходимое условие (6.12) полноты базиса, на множитель A в (6.11) должно быть наложено условие

A= . (6.16)

Чтобы убедиться в этом, следует применить к левой части (6.12) правило композиции и использовать соотношения (6.15):

= = =

= A² =

=A² (p_x–p1_x) ( p_y–p1_y) ( p_z–p1_z) = A² .

Используя волны де Бройля с найденным значением множителя A, можно переходить от координатного представления амплитуды состояния к импульсному и наоборот.

? Контрольные вопросы

1. Назовите свойства амплитуд состояния.

2. Что такое норма состояния?

3. Как вычисляется норма волновой функции?

4. На чем основана и как осуществляется нормировка амплитуды состояния на единицу?

5. Сформулируйте квантовомеханический принцип суперпозиции. Сравните его с классическим принципом суперпозиции.

6. В чем заключается правило умножения амплитуд?

7. При каких условиях правило композиции можно применять к произвольному состоянию?

8. Каков физический смысл условий ортонормированности базисных состояний?

9. Как изменится амплитуда вероятности, если поменять местами индексы состояния и представления?

10. Как осуществляется нормировка волн де Бройля?

11. Расскажите о -функции и ее свойствах.

12. Запишите разложение произвольной волновой функции (,t) по волнам де Бройля.



Задания

6.1. Докажите, что амплитуды состояния определяются с точностью до произвольного комплексного множителя.

6.2. Выведите формулу (6.16).

6.4. Нужно ли накладывать какие-либо ограничения на функцию A ( – сферическая координата) для того, чтобы эта функция могла быть волновой функцией? m = 0, 1, 2, 3, ….

6.5. Состояние электрона описывается функцией

A

n =

n = 1, 2, …

sin, если 0  x  a

0, если x< 0, x > a.

Пронормировать эту функцию. Построить и проанализировать график плотности вероятности нахождения электрона в различных точках пространства.

6.6. Найти нормировочный коэффициент N для волновой функции основного состояния атома водорода () =N exp(–r / r₀). N = ( r₀³)^–1/2.

6.7. Нарисовать график функции  (K, x) = и исследовать поведение его при увеличении параметраK.

6.8. Амплитуда нормированного на единицу состояния s представлена в виде Bs = . Найти.

6.9. Найти волновую функцию в и в-представлениях для частицы, локализованной в точке. (2 ħ)^–3/2 exp; (–).

6.10. Найти волновую функцию в импульсном представлении, которая соответствует волновому пакету прямоугольной формы:

(x) =

, если –a/2  x  a/2

0, если x > a/2.

6

(p) =.

.11. Электрон находится в состоянии, описываемом волновой функцией

(x, t) = A cosexp.

Какие значения импульса будут зарегистрированы в этом состоянии?