§7. Векторы состояний

 Литература: [8], [3], [7].

Векторный формализм оказался очень удобным во всех разделах физики. Он позволил компактно записывать законы, использовать наглядные геометрические образы и соотношения. П. Дирак нашел способ распространить векторный формализм и на квантовую механику. Такую возможность он нашел, анализируя правило композиции амплитуд. Использованные выше скобочные обозначения Дирака введены им именно при разработке векторного формализма квантовой механики.

Благодаря правилу композиции амплитуда перехода в состояние B из состояния A оказывается аналогичной скалярному произведению векторов B и A. Чтобы увидеть эту аналогию, амплитуду перехода представим в следующем виде:

BA = ==, где (7.1)

B_i* =e_iB* = Be_i, а A_i = e_iA, причем e_ie_j = _ij. (7.2)

Скалярному произведению векторных величин итоже можно придать вид, аналогичный (7.1): (,) = , (7.3)

если обозначить B_i^*= (,) иA_i = (,), где– ортонормированные базисные векторы, для которых справедливо условие (,) =_ij. Так что символы B и A в (7.1) и (7.2) аналогичны векторным величинам и, аe_i – базисным векторам . Полной аналогии амплитудBA и скалярных произведений (,) препятствует то обстоятельство, что перестановка сомножителей в скалярном произведении не влияет на результат, а перестановка индексов амплитуды вероятности дает комплексно сопряженное значение.

В математике понятие вектор шире понятия векторной физической величины. Рассматриваются векторы и в комплексном пространстве. Для таких векторов скалярное произведение при перестановке сомножителей заменяется комплексно сопряженным числом. Так что имеется полная аналогия амплитуд вероятности и скалярных произведений векторов комплексного пространства. Число базисных состояний e_i в разложении (7.1) может быть неограниченным. Комплексное векторное пространство с неограниченным числом базисных состояний, называемое гильбертовым пространством, Дирак предложил использовать для описания состояний микрообъектов.

Каждому состоянию микрообъекта A ставится в соответствие вектор гильбертова пространства так, что скалярное произведение векторов является амплитудой перехода между соответствующими состояниями. Вектор состояния обозначается A и называется cket-вектором. Скалярное произведение векторов B и A имеет смысл амплитуды BA:

(B,A) = BA. (7.4)

Перестановка сомножителей согласуется со свойством эрмитовой симметрии амплитуд (6.10): (A,B) = AB = (B,A)* = BA*.

В пространстве cket-векторов может быть выбран базис e_i, для которого выполняется условие (e_i,e_j) = e_ie_j = _ij. Любой вектор A можно разложить по базису, то есть представить в виде A = , аналогично тому, как геометрический векторвыражается через его проекции:=A_xx+A_yy+A_zz. Амплитуды e_iA аналогичны проекциям геометрического вектора на координатные оси. Совокупность координат (A_x, A_y, A_z) задает геометрический вектор . Аналогично совокупность всех амплитудe_iA задает состояние A в e- представлении.

Комплексному пространству ставится в соответствие сопряженное с ним пространство (по терминологии Дирака – пространство bra-векторов, или bra- пространство). Bra-векторы обозначаются символом A. Скалярное произведение векторов B и A является величиной комплексно сопряженной скалярному произведению соответствующих cket-векторов:

(B,A) = (B,A)* = BA* = AB. (7.5)

Скалярное произведение квантово-механических векторов выражается амплитудой, которая изображается в виде записанных рядом bra- и cket- векторов так, чтобы в результате получилась bracket (скобка).

Таким образом, состояние микрообъекта  описывается или bra-вектором , или сопряженным ему cket-вектором . Переход от одного из сопряженных пространств к другому называют операцией эрмитова сопряжения и обозначают символом «⁺»:

⁺ = ; BA⁺= AB = BA*.

Применительно к амплитудам (комплексным числам) операция эрмитова сопряжения совпадает с операцией комплексного сопряжения.

Состояние  можно также описать множеством проекций вектора состояния на базисные векторы В_j: В_i, или, опуская индекс i, В. Это множество комплексных чисел есть амплитуда состояния  в B-представлении. Амплитуды одного и того же состояния различны в различных представлениях подобно тому, как различны проекции одного и того же геометрического вектора в различных координатных системах.

Если переменные набора B имеют непрерывный спектр, то амплитуда состояния представляет собой функцию непрерывно меняющихся переменных B: B = (B) – волновую функцию. В квантовой механике часто используется координатное представление, при котором переменные B смеют смысл декартовых координат радиус-вектора точки : = (). Именно такой способ описания состояния микрочастицы был первоначально предложенM. Борном.

Дираковский формализм удобен для записи основных соотношений квантовой механики. Соотношения оказываются компактными, инвариантными, то есть не зависят от выбора представлений. Для получения же проверяемых экспериментально результатов нужно использовать конкретное представление, чаще всего используется координатное представление.

? Контрольные вопросы

1. На чем основан векторный формализм описания состояния микрообъектов?

2. Расскажите о cket-векторах.

3. Расскажите о bra-векторах.

4. Какой смысл имеют проекции векторов состояний на базисные векторы?

5. Перечислите способы описания состояний микрообъектов.

6. Когда целесообразно использовать те или иные способы описания состояния микрообъектов?



Задания

7.1. Запишите скалярное произведение векторов состояния  и  в координатном представлении.

7.2. Запишите в координатном представлении условие нормировки вектора состояния  на единицу.

7.3. Запишите волну де Бройля в координатном и в импульсном представлениях, используя формализм Дирака.