4.2. Момент силы

Момент силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса – вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу (рис. 4.6).

. (4.2)

Рис. 4.6. Момент силы относительно неподвижной точки

Здесь – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта, при его вращении от к . Векторы, направления которых связываются с направлением вращения называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Модуль момента силы:

, (4.3)

где a - угол между направлениями вектором и ;

– кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О – плечо силы.

Формулам (4.2) и (4.3) для момента силы и его модуля можно придать иной вид. Для этого разложим вектор силы на две составляющие: коллинеарную с составляющую () и перпендикулярную к составляющую (F_t) (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Разложение вектора силы на составляющие

Если представить себе окружность радиуса с центром в точке О (момент перпендикулярен к плоскости рис. 4.7, направлен к нам), то составляющая будет направлена по касательной к окружности. Запишем в формуле (4.2) вектор суммой () и воспользуемся свойством векторного произведения:

.

Первое слагаемое в полученном выражении равно нулю, т.к. векторы и коллинеарны. Следовательно, момент силы относительно точки можно представить в виде:

. (4.4)

Поскольку векторы и взаимно перпендикулярны, модуль вектора равен

. (4.5)

Момент суммы сил, имеющих общую точку приложения, равен сумме моментов слагаемых сил:

(4.6)

Момент пары сил. Парой сил называется две равные по величине противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной и той же прямой (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Пара сил

Расстояние l между прямыми, вдоль которых действуют силы называется плечом пары. Покажем, что момент пары сил относительно любой точки будет один и тот же. Обозначим одинаковый модуль сил и буквой F. Модуль момента силы равен Fl₁ и направлен на нас, момент силы равен Fl₂ и направлен за чертеж. Результирующий момент направлен за чертеж и равен:

.

Полученное выражение не зависит от положения точки О на плоскости, на которой лежит пара сил.

Теперь выберем точку О совершенно произвольным образом (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Расчет момента пары сил

Проведем из этой точки радиусы–векторы и точек приложения сил и . Из точки приложения силы в точку приложения силы проведем вектор . Тогда

. (4.7)

Суммарный момент сил и равен

.

Заменяя согласно (4.7) и использовав свойство векторного произведения, можно написать:

=.

Поскольку = –, первые два слагаемых взаимно уничтожаются и окончательно получается:

.

Таким образом, момент пары сил перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы (рис. 4.10), и численно равен произведению модуля любой из сил на плечо.

Рис. 4.10. Момент пары сил

Момент силы относительно оси

Если тело может вращаться относительно точки О произвольным образом, то под действием силы тело повернется вокруг оси, перпендикулярной к плоскости, в которой лежат сила и точка О, т.е. вокруг оси, совпадающей с направлением момента силы относительно данной точки. Величина момента характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси.

Если тело может вращаться только вокруг некоторой фиксированной оси, способность силы вращать тело вокруг этой оси характеризуется величиной, которая называется моментом силы относительно оси.

Для определения момента силы относительно оси, найдем момент относительно точки О и отложим вектор этого момента из точки О (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Момент силы относительно оси

Проведем через точку О ось, которую назовем z, и разложим вектор на две составляющие: - параллельную оси и - перпендикулярную оси. Параллельную оси z составляющую момента силы относительно точки О (лежащей на оси) называют моментом силы относительно оси. Обозначив момент силы относительно оси , можно записать:

. (4.8.)

При заданном величина и направление вектора зависят от выбора оси z. Если ось z совпадает с направлением вектора , то будет равен , если ось z перпендикулярна к вектору , то = 0.

Представим радиус-вектор в виде суммы двух составляющих: - параллельной оси и - перпендикулярной к оси (рис. 4.12).

Рис. 4.12. Расчет момента силы относительно оси

Тогда момент силы относительно оси z можно записать в виде:

.

Но вектор перпендикулярен к оси z, следовательно, его составляющая по этой оси равна нулю. Поэтому

. (4.9)

Теперь представим вектор в виде суммы трех составляющих: - параллельной оси z, - коллинеарной вектору и - перпендикулярной к плоскости, проходящей через ось z и вектор (на рис. 4.12 эта составляющая изображена кружком с крестиком). Если представить себе окружность радиуса R с центром на оси z, то составляющая будет направлена по касательной к этой окружности. Заметим в (4.9) вектор суммой перечисленных выше составляющих:

=.

Рассмотрим каждое из трех слагаемых в отдельности. Вектор перпендикулярен к оси z, поэтому его составляющая по оси равна нулю. Вектор сам по себе равен нулю, так как образующие его сомножители коллинеарны. Следовательно, первые два слагаемых равны нулю. Вектор параллелен оси z (оба образующие его сомножители перпендикулярны к оси z), так как его составляющая по оси равна ему самому:

.

Таким образом, приходим к формуле:

. (4.10)

Векторы и взаимноперпендикулярны. Поэтому модуль вектора , равен

. (4.11)

Величина R называется плечом силы относительно оси z.

Из выражения (4.10) легко заключить, что момент , характеризует способность силы повернуть тело, к которому она приложена, вокруг оси z. Действительно, составляющие и не могут вызвать вращения вокруг оси z. Следовательно, поворот может быть вызван только составляющей , причем эта составляющая тем успешнее осуществит поворот, чем больше ее плечо R.

Для момента относительно оси также справедливо соотношение (4.6), т.е. момент результирующей равен сумме моментов слагаемых сил относительно той же оси:

.