4.5. Основное уравнение динамики вращательного движения

Рассмотрим систему материальных точек, каждая из которых может как-то перемещаться, оставаясь в одной из плоскостей, проходящих через общую ось z (рис. 4.20). Все плоскости могут вращаться вокруг этой оси с одинаковой угловой скоростью .

Рис. 4.20. Движение системы материальных точек

Тангенциальная составляющая скорости i-й точки может быть представлена в виде:

,

где – перпендикулярная к оси z составляющая радиуса-вектора . Подставив это значение в формулу (4.23), получим выражение для момента импульса точки относительно оси z:

,

т.к. векторы и взаимноперпендикулярны.

Просуммировав это выражение по всем точкам, вынеся общий множитель w за знак суммы, найдем для момента импульса системы относительно оси z следующее выражение:

. (4.31)

Физическая величина

, (4.32)

равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты их расстояний от оси z, называется моментом инерции системы материальных точек относительно оси z (отдельно взятое слагаемое представляет собой момент инерции i-й материальной точки относительно оси z).

С учетом (4.32) выражение (4.31) принимает вид:

. (4.33)

Подставив это выражение для в соотношение (4.30) придем к уравнению:

, (4.34)

которое является основным уравнением динамики вращательного движения.

Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменными расстояниями между ними. Для такой системы момент инерции I_z относительно фиксированной оси z есть величина постоянная. Следовательно, уравнение (4.34) переходит для абсолютно твердого тела в уравнение:

, (4.35)

где – угловое ускорение тела,

M_z – результирующий момент внешних сил, действующих на тело.

Сопоставив уравнения динамики вращательного движения с уравнениями динамики поступательного движения, составим табл. 4.1.

Таблица 4.1

Связь между основными характеристиками поступательного

и вращательного движения

Поступательное движение	Вращательное движение
– сила m – масса – линейная скорость – линейное ускорение – импульс	или – момент силы Iz – момент инерции – угловая скорость b – угловое ускорение – момент импульса

4.6. Момент инерции

Из определения (4.32) видно, что момент инерции был определен как сумма произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от оси. Из определения следует, что момент инерции есть величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

Понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что эта величина существует безотносительно к вращению.

Каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находится в покое.

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью величины, называемой плотностью. Если тело однородно, т.е. свойства его во всех точках одинаковы, то плотностью называется величина, равная

, (4.36)

где m – масса тела, а v – его объем. Таким образом, в случае однородного тела плотность представляет собой массу единицы объема тела.

Для тела с неравномерно распределенной массой выражение (4.36.) дает среднюю плотность. Плотность в данной точке определяется в этом случае следующим образом:

. (4.37)

В этом выражении D m – масса, заключенная в объеме D V, который при предельном переходе стягивается к той точке, в которой определяется плотность.

Согласно (4.37) элементарная масса D m_i равна произведению плотности тела r_i в данной точке на соответствующий элементарный объем D V_i:

.

Следовательно, момент инерции можно представить в виде

. (4.38)

Если плотность тела постоянная, ее можно вынести за знак суммы:

. (4.39)

Соотношения (4.38) и (4.39) являются приближенными, причем тем более точными, чем меньше элементарные объемы D V_i и соответствующие им элементарные массы D m_i. Следовательно, задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию:

. (4.40)

Интегралы в (4.40) берутся по всему объему тела. Величины r и r в этих интегралах являются функциями точки.

Часто вычисления момента инерции значительно облегчается, если воспользоваться теорией Штейнера, которая формулируется следующим образом: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния, а между осями (рис. 4.21):

. (4.41)

Рис. 4.21. Определение момента инерции по теореме Штейнера

Для доказательства теоремы Штейнера рассмотрим тело произвольной формы (рис. 4.22). Возьмем две параллельные друг другу оси ОО и О^/O^/, из которых одна (ось ОО) проходит через центр инерции тела. Свяжем с этими осями координатные оси XYZ и X^/Y^/Z^/, которые выберем так, чтобы ось z совпадала с осью ОО, а ось z^/ с осью О^/O^/ (на рис. 4.22 эти оси перпендикулярны к плоскости чертежа).

Рис. 4.22. Доказательство теоремы Штейнера

Оси x и x^/ выберем так, чтобы они совпадали и проходили через центр инерции тела. Тогда между координатами элементарной массы D m_i. будут иметь место следующие соотношения:

; ,

где а – расстояние между осями.

Квадрат расстояния D m_i. от оси ОО равен:

. (4.42)

Квадрат же расстояния от оси О^/O^/ равен:

. (4.43)

С учетом (4.42) момент инерции тела относительно оси ОО определяется выражением:

, (4.44)

а момент инерции относительно оси О^/O^/ (с учетом 4.43) будет равен:

. (4.45)

Возведя в квадрат выражение, стоящее в круглых скобках, и сгруппировав соответствующим образом получившиеся слагаемые, выражение (4.45) можно привести к следующему виду:

. (4.46)

Первая из сумм (4.46) тождественна с (4.44), т.е. представляет собой I₀; вторая сумма дает ma²; третья же сумма равна нулю. В самом деле, поскольку ось z проходит через центр инерции тела, координата x_c центра инерции равна нулю. Вместе с тем по определению , откуда следует, что равна нулю.

Таким образом, выражение (4.45) принимает вид:

.

Приведем значения моментов инерции для некоторых тел (тела предполагаются однородными, m – масса тела).

1. Тело представляет собой тонкий длинный стержень с сечением любой формы. Максимальный поперечный размер стержня b во много раз меньше длины стержня l (b << l). Момент инерции относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (рис. 4.23), равен

.

Рис. 4.23. Момент инерции стержня относительно оси

перпендикулярной его середине

2. Для диска или цилиндра при любом отношении R к l (рис. 4.24) момент инерции относительно оси, совпадающей с геометрической осью цилиндра, равен .

3. Тело – тонкий диск. Толщина диска b во много раз меньше радиуса диска R (b << R). Момент инерции относительно оси, совпадающей с диаметром диска (рис. 4.25), равен

.

4. Момент инерции шара радиуса R относительно оси, проходящей через ее центр, равен

.

Рис. 4.24. Момент инерции цилиндра или диска

Рис. 4.25. Момент инерции тонкого диска