7.2. Постулаты специальной теории относительности

Проанализировав экспериментальный и теоретический материал, имеющийся к началу XX века, Эйнштейн пересмотрел исходные положения классической физики, прежде всего представления о свойствах пространства и времени. В результате он создал специальную теорию относительности, явившуюся логическим завершением всей классической физики.

Специальная теория относительности, как и классическая механика, предполагает, что время однородно, а пространство однородно и изотропно. Специальная теория относительности часто называется также релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорией, – релятивистскими эффектами.

В основе специальной теории относительности лежат постулаты Эйнштейна, сформулированные им в 1905 г.

1. Принцип относительности представляет собой обобщение принципа относительности Галилея на любые физические процессы: все физические явления протекают одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчета: все законы природы и уравнения, их описывающие, инвариантны, т.е. не меняются, при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Другими словами, все инерциальные системы отсчета эквивалентны (неразличимы) по своим физическим свойствам; никакие опыты, проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно.

2. Принцип инвариантности скорости света ‑ скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, скорость света занимает особое положение в природе. В отличие от других скоростей, меняющихся при переходе от одной системы отсчета к другой, скорость света в пустоте является инвариантной величиной.

Из постулатов Эйнштейна следует также, что скорость света в вакууме является предельной: никакой сигнал, никакое воздействие одного тела на другое не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Именно предельный характер этой скорости и объясняет одинаковость скорости света во всех системах отсчета. В самом деле, согласно принципу относительности, законы природы должны быть одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Тот факт, что скорость любого сигнала не может превышать предельное значение, есть также закон природы. Следовательно, значение предельной скорости – скорости света в вакууме – должно быть одинаково во всех инерциальных системах отсчета; в противном случае эти системы можно было бы отличить друг от друга.

Все содержание специальной теории относительности вытекает из этих двух ее постулатов. В настоящее время оба постулата Эйнштейна, как и все следствия из них, подтверждаются экспериментальными данными.

7.3. Преобразования Лоренца

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К^/. Пусть система К^/ движется относительно К со скоростью v.

Рис. 7.2. Преобразования Лоренца

Событию в системе К соответствуют значения координат и времени, равные x, y, z, t, в системе К^/ – x^/, y^/, z^/, t^/. Согласно классической механике время в обеих системах течет одинаково, т.е. t = t^/. Если в момент t = t^/= 0 начала координат обеих систем совпадали, то между координатами событий в обеих системах имеются следующие соотношения:

(7.5)

Эта система уравнений носит название преобразований Галилея. Из них вытекает закон сложения скоростей классической механики:

, , . (7.6)

Этот закон находится в противоречии с принципом постоянства скорости света: если в системе К^/ световой сигнал распространяется со скоростью с (), то в системе К скорость сигнала окажется равной , т.е. превзойдет с. Отсюда вытекает, что преобразования Галилея должны быть заменены другими формулами.

Поскольку пространство однородно, то формулы преобразования не должны изменяться при переносе начала координат. Этому условию удовлетворяют только линейные преобразования. На рис. 7.2. плоскость y = 0 совпадает с плоскостью y^/ = 0, а плоскость z = 0 – с плоскостью z^/ = 0. Координаты y и y^/ могут быть связаны соотношением

y = ε y^/.

Системы К и К^/ равноправны, поэтому также выполняется соотношение

y^/ = ε y.

Перемножив оба равенства получим ε² = 1, . Знак плюс соответствует случаю, когда оси и одинаково направлены, знак минус – оси направлены противоположно. Направив оси одинаково, получаем

y = y^/.

Аналогично получаем

z = z^/.

Найдем выражения для преобразования x и t. Начало координат системы К имеет координату в системе К и в системе К^/. При обращается в нуль и координата x, поэтому линейное преобразование имеет вид

. (7.7)

Аналогично, начало координат системы К^/ имеет координату в системе К^/ и в системе К, отсюда имеем равенство

. (7.8)

Коэффициент пропорциональности в формулах (7.7) и (7.8) γ один и тот же, так как системы К и К^/ равноправны. Чтобы получить выражение для определения времени t в системе К, подставив (7.7) в (7.8) и выразим t

. (7.9)

Чтобы найти коэффициент пропорциональности, используем постулат о постоянстве скорости света. Пусть в момент времени t = t^/ = 0 (начала координат систем совпадают) в направлении оси x посылается световой сигнал, который достигает экрана, находящегося в точке с координатой . Это событие (попадание луча на экран) описывается координатами , в системе К и , в системе К^/, причем ; координаты события в обеих системах можно представить в виде

, и , .

Подставим эти значения в формулы (7.3) и (7.4)

Перемножив оба выражения, получим формулу

,

откуда

. (7.10)

Подставим (7.10) в формулы (7.7) и (7.9) получим систему уравнений:

(7.11)

По формулам (7.11) осуществляется переход от системы К^/ к системе К. Можно получить формулы преобразования при переходе от системы К к системе К^/:

(7.12)

Формулы (7.11) и (7.12) носят название преобразований Лоренца. В случае преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, т.е. преобразования Галилея справедливы только для скоростей, малых по сравнению со скоростью света. При формулы (7.11) и (7.12) для х, t, x^/ и t^/ становятся мнимыми. Это соответствует теоретическому выводу о том, что движение со скоростью, большей скорости света в пустоте, невозможно. Нельзя даже пользоваться системой отсчета, движущейся со скоростью с, так как при в знаменателях формул для x и t получается нуль.