- •Механика
- •Механика
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Кинематика
- •Механическое движение
- •1.2. Некоторые сведения о векторах
- •1.3. Скорость
- •1.4. Ускорение
- •1.5. Угловая скорость и угловое ускорение
- •Глава 2. Динамика материальной точки
- •2.1. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета
- •2.2. Второй закон Ньютона
- •2.3. Третий закон Ньютона
- •2.4. Сила. Силы трения
- •2.5. Импульс. Закон сохранения импульса
- •2.6. Центр масс. Движение тела переменной массы
- •Глава 3. Работа и энергия
- •3.1. Понятие о работе и энергии. Мощность. Консервативные
- •Кинетическая энергия
- •Потенциальная энергия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Графическое представление энергии.
- •3.6. Применение законов сохранения энергии и импульса
- •Используя (3.32), получаем
- •Движение в центральном поле сил
- •Глава 4. Механика твердого тела
- •4.1. Движение твердого тела
- •4.2. Момент силы
- •4.3. Центр масс твердого тела и его движение
- •4.4. Момент импульса и закон его сохранения
- •4.5. Основное уравнение динамики вращательного движения
- •4.6. Момент инерции
- •4.7. Кинетическая энергия твердого тела
- •4.7.1. Вращение тела вокруг неподвижной оси
- •4.7.2. Работа внешних сил при вращении твердого тела
- •4.7.3. Кинетическая энергия тела при плоском движении
- •Глава 5. Тяготение. Неинерциальные системы
- •5.1. Развитие представлений о природе тяготения
- •5.2. Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения
- •5.3. Гравитационное поле и его характеристики
- •5.4. Сила тяжести и вес. Невесомость
- •5.5. Космические скорости
- •5.6. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
- •5.6.1. Силы инерции при ускоренном поступательном
- •5.6.2. Центробежная сила инерции
- •5.6.3. Сила Кориолиса
- •Глава 6. Элементы механики сплошных сред
- •6.1. Гидроаэростатика
- •6.1.1. Давление
- •6.1.2. Распределение давления в покоящихся жидкости и газе
- •6.1.3. Выталкивающая сила
- •6.2. Гидроаэродинамика
- •6.2.1. Линии и трубки тока. Неразрывность струи
- •6.2.2. Уравнение Бернулли
- •6.2.3. Измерение давления в текущей жидкости
- •6.2.4. Применение к движению жидкости закона сохранения
- •6.2.5. Силы внутреннего трения
- •6.2.6. Ламинарное и турбулентное течение
- •6.2.7. Движение тел в жидкостях и газах
- •6.2.8. Подъемная сила
- •Глава 7. Элементы специальной теории
- •7.1. Принцип относительности Галилея.
- •7.2. Постулаты специальной теории относительности
- •7.3. Преобразования Лоренца
- •7.4. Следствия из преобразований Лоренца
- •7.4.1. Одновременность событий в разных системах отсчета
- •7.4.2. Длительность событий в разных системах отсчета
- •7.4.3. Длина тел в разных системах отсчета
- •7.4.4. Релятивистский закон сложения скоростей
- •7.5. Интервал между событиями
- •7.6. Релятивистская динамика. Релятивистский импульс
- •7.7. Закон взаимосвязи массы и энергии
- •7.7.1. Кинетическая энергия релятивистской частицы
- •7.7.2. Закон взаимосвязи массы и энергии
- •7.7.3. Связь между энергией и импульсом частицы
- •Глава 8. Свободные гармонические колебания
- •8.1. Гармонические колебания и их характеристика
- •8.2. Механические гармонические колебания
- •8.3. Гармонический осциллятор. Пружинный, математический
- •8.4. Графическое изображение гармонических колебаний.
- •8.5. Сложение колебаний одинакового направления
- •8.6. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •Глава 9. Свободные Затухающие колебания
- •9.1. Дифференциальное уравнение свободных затухающих
- •9.2. Основные характеристики затухающих колебаний
- •Глава 10. Вынужденные колебания
- •10.1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
- •10.2. Решение дифференциального уравнения вынужденных
- •10.3. Резонанс. Примеры резонансных явлений
- •Глава 11. Волны в упругой среде
- •11.1. Упругие волны
- •11.2. Уравнение плоской и сферической волн
- •11.3. Уравнение плоской волны, распространяющейся
- •11.4. Волновое уравнение
- •11.5. Скорость распространения упругих волн
- •11.6. Энергия упругой волны
- •11.6.1. Плотность энергии упругой волны
- •11.6.2. Плотность потока энергии
- •11.7. Стоячие волны
- •11.7.1. Уравнение стоячей волны
- •11.7.2. Энергия стоячей волны
- •11.8. Эффект Доплера для звуковых волн
- •Литература
- •Механика
- •302020, Г. Орел, Наугорское шоссе, 29.
1.5. Угловая скорость и угловое ускорение
Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Вращательное движение − это такое движение, при котором все точки твердого тела описывают окружности, с центрами лежащими на одной прямой, являющейся осью вращения. Пусть некоторая точка М движется по окружности радиуса R (рис. 1.16) вокруг оси вращения ОО. Заметим, что чем дальше отстоят от оси вращения точки рассматриваемого тела, тем большие пути они проходят за один и тот же промежуток времени , соответственно, тем больше их скорости =. Поэтому для описания вращательного движения тела неудобно пользоваться такими понятиями кинематической точки, как перемещение, пройденный путь, скорость и ускорение. В этом случае, мерой перемещения всего тела, каждой его точки, за малый промежуток времени служит вектор .
Рис. 1.16. Вращательное движение точки M
Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта (рис. 1.16). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.
Кинематической характеристикой направления и быстроты вращения тела служит угловая скорость тела, равная отношению вектора элементарного поворота тела к продолжительности этого поворота:
. (1.26)
Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор . Размерность угловой скорости [ω] =T -1, а ее единица – радиан в секунду (рад/с). Модуль угловой скорости равен . Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным. Если вращение является равномерным, то ω = φ/, где φ − конечный угол поворота за время . Таким образом, при равномерном вращении ω показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени.
Равномерное вращение можно характеризовать периодом вращения T, т.е. время, за которое тело делает один оборот, (поворачивается на угол ). Поскольку промежутку времени ∆ = T соответствует угол поворота ∆ = , то
ω=/T, (1.27)
откуда
T=/ω. (1.28)
Число оборотов в единицу времени равно
=1/T=ω/. (1.29)
Из (1.27) следует, что угловая скорость равна умноженное на число оборотов в единицу времени:
ω=. (1.30)
При неравномерном движении тела вокруг неподвижной оси его угловая скорость изменяется. Вектор, характеризующий быстроту изменения угловой скорости тела, называется угловым ускорением.
=. (1.31)
Угловое ускорение, как и угловая скорость, является псевдовектором, оно направлено вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости.
При равнопеременном движении может быть больше или меньше нуля. Если >0, то это равноускоренное движение и и сонаправлены. Если <0, то это равнозамедленное движение, и и противонаправлены (рис. 1.17). Поэтому кинематические уравнения равнопеременного движения имеют вид:
=0 ± t, =0 t± t2/2. (1.32)
Рис. 1.17. Направление векторов и при равнопеременном
движении вокруг оси ОО'
Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Скорость каждой точки непрерывно изменяет свое направление. Модуль скорости определяется скоростью вращения тела и расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол ∆ (рис. 1.16). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь ∆s=R∆φ. Линейная скорость точки равна
=. (1.33)
Таким образом,
=. (1.34)
Формула (1.34) связывает модули линейной и угловой скоростей.
Найдем выражение, связывающее векторы и . Положение рассматриваемой точки тела будем определять радиус-вектором, проведенным из лежащего на оси вращения начала координат О (рис. 1.18).
Рис. 1.18. Положение точки М при вращательном движении
определяется радиус-вектором проведенным из лежащего
на оси вращения начала координат О
Из рис. 1.18 видно, что векторное произведение [] совпадает по направлению с вектором и имеет модуль, равный . Следовательно,
=[]. (1.35)
Модуль нормального ускорения точки вращающегося тела равен
|| = .
Подставив сюда значение из (1.34), получим:
||=2R. (1.36)
Если ввести перпендикулярный к оси вращения вектор, проведенный в данную точку тела, то соотношению (1.36) можно придать векторный вид:
=-. (1.37)
Минус в этой формуле указывает на то, что векторы и имеют противоположные направления.
Тангенциальная составляющая ускорения равна d/d. Воспользовавшись соотношением = и учтя, что расстояние рассматриваемой точки от оси вращения R=const, можно написать
|τ|=. (1.38)
Следовательно, модуль тангенциального ускорения связан с модулем углового ускорения соотношением
|τ|=. (1.39)
Таким образом, нормальное и тангенциальное ускорения растут линейно с увеличением расстояния от точки до оси вращения.