9.1. Дифференциальное уравнение свободных затухающих

колебаний и его решение

Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями. Найдем дифференциальное уравнение, описывающее свободные затухающие колебания линейной системы.

Пусть на систему действуют упругая сила , где - коэффициент упругости, − смещение системы из положения равновесия, и сила сопротивления среды , где - коэффициент сопротивления среды, - скорость движения тела в среде. Тогда уравнение второго закона Ньютона имеет вид:

(9.1)

Обозначим ,

Перепишем уравнение (9.1) в виде:

(9.2)

Здесь − изменяющаяся при колебаниях физическая характеристика системы (смещение системы из положения равновесия); = const ≥ 0 − коэффициент затухания; − собственная частота колебательной системы, т.е. в отсутствие потерь энергии (при = 0).

В курсе математического анализа доказывается, что решение дифференциального уравнения следует искать в форме

, (9.3)

а его общее решение

(9.4)

Здесь С₁ и C₂ – постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий; − корни характеристического уравнения, которое получается из (9.2) после подстановки в него выражения (9.3) для функции :

. (9.5)

Если <, то корни квадратного уравнения (9.5) комплексно-сопряженные:

, (9.6)

где , (9.7)

i = - мнимая единица.

Общее решение (9.4) имеет вид

, (9.8)

или на основании формулы Эйлера: это выражение можно представить в виде:

.

Вводя вместо С₁ и С₂ две новые постоянные , связанные с С₁ и С₂ соотношениями , окончательно получаем

(9.9)

Постоянные величины зависят от начальных условий, т.е. от значений в начальный момент времени. Поэтому A₀ и амплитуда и фаза колебаний соответственно в начальный момент времени. Амплитуда в момент времени t определяется как , а фаза колебаний − .

Таким образом, выражение (9.9) является общим решением дифференциального уравнения (9.2) свободных затухающих колебаний. На рис. 9.1 дан график функции (9.9).

Рис. 9.1. График зависимости и A(t) при затухающих колебаниях

В соответствии с видом функции (9.9) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частотой с амплитудой . Верхняя из штриховых кривых на рис. 9.1 дает график функции , причем величина представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение зависит кроме , также от начальной фазы :

9.2. Основные характеристики затухающих колебаний

1. Коэффициент затухания

(9.10)

определяет скорость затухания колебаний.

2. Период затухающих колебаний . Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины. Тогда период затухающих колебаний равен

(9.11)

3. Частота затухающих колебаний

4. Амплитуда затухающих колебаний

(9.12)

где − начальная амплитуда.

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания .

5. Время релаксации

(9.13)

− промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз.

6. Логарифмический декремент затухания − безразмерная величина, равная натуральному логарифму отношения значений амплитуды затухающих колебаний в момент времени t и t+T:

, (9.14)

где N − число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в e раз.

Логарифмический декремент затухания постоянная для данной колебательной системы величина.

Найдем связь между циклической частотой затухающих колебаний системы и логарифмическим декрементом затухания . Так как и , то и

. (9.15)

7. Добротность колебательной системы Q − безразмерная величина, равная произведению на отношение энергии запасенной в системе в данный момент времени t, к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t+T, т.е. за один период затухающих колебаний:

(9.16)

Так как пропорциональна квадрату амплитуды колебаний А(t), то

(9.17)

При малых значениях логарифмического декремента затухания («1) и добротность колебательной системы

(9.18)

При этом условии =, период T затухающих колебаний практически равен периоду T₀ свободных незатухающих колебаний, так что

(9.19)

Например, добротность пружинного маятника

(9.20)

При увеличении коэффициента затухания период затухания колебаний возрастает и обращается в бесконечность при , т.е. движение перестает быть периодическим.

При > корни характеристического уравнения (9.5) становятся вещественными и решение дифференциального уравнения (9.2) оказывается равным сумме двух компонент:

.

Здесь С₁ и С₂ − вещественные постоянные, значения которых зависят от начальных условий ().

Следовательно, движение носит апериодический (непериодический) характер − выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. На рис. 9.2 показаны два возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении. Каким из этих способов система приходит в положение равновесия, зависит от начальных условий.

Рис. 9.2. График зависимости x от t при апериодическом движении

Движение, изображаемое кривой (2), получается в том случае, когда система начинает двигаться из положения, характеризуемого смещением x₀, к положению равновесия с начальной скоростью, определяемой условием

> (9.20)

Это условие будет выполнено в том случае, если выведенной из положения равновесия системе сообщить достаточно сильный толчок к положению равновесия. Если, отведя систему из положения равновесия, отпустить ее без толчка, т.е. с = 0 или сообщить ей толчок недостаточной силы ( такой, что условие (9.20) не выполняется), движение будет происходить в соответствии с кривой (1) на рис. 9.2.

Огромный интерес для техники представляет возможность поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко применимы так называемые автоколебания − незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.

Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колеба-ниями).

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивания пружины, либо за счет опускания груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей.

Автоколебательными системами являются также двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т.д.