Раздел 1 Будущая и приведенная стоимости Категории, понятия, определения, формулы

1. PV = FV * 1/(1+r)^t

^{PV – размер вложения капитала к концу t – ого периода времени с момента вклада первоначальной суммы, руб.;}

^{FV – величина будущего дохода, руб.;}

^{r – коэффициент дисконтирования (т.е. норма доходности или процентная ставка), доли единицы;}

^{t – фактор времени (число лет или количество оборотов капитала).}

^{2. FV = PV *(1+r)t}

3. Расчет банковских (учетных ставок) по простым процентам:

PV = FV * (1 - r * t)

4. Расчет банковских (учетных ставок) по сложным процентам:

PV = FV * (1 – r) ^t

5. Расчет математических (процентных ставок) по простым процентам:

PV = FV * 1/(1 + r * t)

6. Расчет математических (процентных ставок) по сложным процентам:

PV = FV * 1/(1 + r)^t

^{7. Расчет процентных ставок по простым процентам:}

^{FV = PV * (1 + r * t)}

^{8. Расчет процентных ставок по сложным процентам:}

^{FV = PV * (1 + r)t}

9. Оценка будущего денежного потока с учетом его временной стоимости для ускоренного аннуитета (пренумерандо) рассчитывается по формуле:

FV = PV * [((1 + r)^t – 1)/r] * (1 + r)

10. Оценка будущего денежного потока с учетом его временной стоимости для отсроченного аннуитета (постнумерандо) рассчитывается по формуле:

FV = PV * [((1 + r)^t – 1)/r]

11. Оценка текущего денежного потока для ускоренного аннуитета (пренумерандо) рассчитывается по формуле:

PV = FV / [((1 + r)^t – 1)/r] * (1 + r)

12. Оценка текущего денежного потока для отсроченного аннуитета (постнумерандо) рассчитывается по формуле:

PV = FV / [((1 + r)^t – 1) /r]

13. Вычисление коэффициента дисконтирования ß:

ß = 1/(1 + r)^t

Задачи с решениями

^{Задача № 1}

^{Условие:}

^{Организация предполагает получить от долевого участия в инвестиционном проекте через три года сумму денежных средств в размере 1 000 000 руб.}

^{Ставка доходности составляет 8% годовых. Сколько составит его первоначальный взнос?}

^{Решение:}

PV = FV * 1/(1+r)^t = 1 000 000 * 1/(1+0,8)³= 1 000 000 * 0,794 = 794 000 руб.

Ответ:

Организация должна инвестировать 794 000 руб. для того, чтобы получить через три года сумму в размере 1 000 000 руб. при ставке доходности 8 % годовых.

^{Задача № 2}

^{Условие:}

^{Организация вкладывает на депозит в банк денежные средства в размере} 1 000 000 руб. сроком на два года^. Ставка доходности составляет 8% годовых. Какую сумму организация планирует получить через два года?

^{Решение:}

^{FV = PV *(1+r)t} = 1 000 000 * 1,8² = 1 000 000 * 1, 1664 = 1 166 400 руб.

Ответ:

Вложив в банк на депозитный вклад 1 000 000 руб., организация через два года при ставке доходности 8 % получит 1 166 400 руб. Прирост денежных средств в результате вложений на депозитный вклад составит 1166 400 руб.

^{Задача № 3}

^{Условие:}

^{Организация положила в банк на депозитный вклад 1 000 000 руб. сроком на 2 года. Банк выплачивает по депозитному вкладу 10 % годовых. Сколько составит полученная через 2 года сумма денежных средств при начислении методом простых процентов?}

^{Решение:}

^{FV = PV * (1 + r * t) = 1 000 000 * [1 + (10/100) * 2] = 1 200 000 руб.}

Ответ:

Вложив в банк на депозитный вклад 1 000 000 руб., организация через два года при ставке доходности 10 % получит 1 200 000 руб. Прирост денежных средств в результате вложений на депозитный вклад составит 200 000 руб.

^{Задача № 4}

^{Условие:}

Организация – владелец векселя номинальной стоимостью 100 000 руб. и периодом обращения 2 года предложила его банку сразу для учета, т.е. за 2 года до погашения. Банк согласился учесть этот вексель по сложной учетной ставке 20 % годовых. Сумма, полученная организацией – владельцем векселя, составит:

^{Решение:}

PV = FV * (1 – r) ^t = 100 000 * (1 – 20/100)² = 64 000 руб.

Дисконт банка:

100 000 – 64 000 = 36 000 руб.

На условиях этого же примера определим сумму, полученную организацией – владельцем векселя, если бы банк произвел учет векселя по простой учетной ставке – 20 %, тогда:

PV = FV * (1 - r * t) = 100 000 * [1 – (20/100)* 2] = 60 000 руб.

Дисконт банка:

100 000 – 60 000 = 40 000 руб.

Банку в данном случае более выгоден учет векселя по простой учетной ставке.

^{Задача № 5}

^{Условие:}

Организация – инвестор планирует получить через 2 года 1 000 000 руб. Какую сумму необходимо инвестировать при простой процентной ставке 10 % годовых?

^{Решение:}

PV = FV * 1/(1 + r * t) = 1 000 000 * 1/ [1 + (10/100) * 2] = 833 333 руб.

Тогда доход организации-инвестора составит:

1 000 000 – 833 333 = 166 667руб.

Эти же расчеты проведены на основе сложных процентных ставок, показывают:

PV = FV * 1/(1 + r)^t = 1 000 000 * 1[1 + (10/100)]² = 826 446 руб.

Доход организации-инвестора: 1 000 000 – 826 446 = 173 554 руб.

^{Задача № 6}

^{Условие:}

Для погашения пакета облигаций, выпущенных ОАО «Интерком» на 5 лет, создается выкупной фонд. Ежегодные платежи организации в него составляют 150 000 руб., на них начисляются проценты по ставке 10 %. Определите итоговую наращенную сумму денежных средств при условии, что проценты по ним начисляются один раз в год.

Решение:

Для расчета будущей стоимости выкупного фонда используем формулу отсроченного аннуитета:

FV = PV * [((1 + r)^t – 1)/r] = 150 000 * [((1 + 0,1)⁵ – 1): 0,1] = 915 765 руб.

Итоговая величина выкупного фонда через 5 лет составит 915 765 руб.

^{Задача № 7}

^{Условие:}

Вычислите коэффициент дисконтирования ß первого года при ставке дисконта, равной:

А) 10 %;

Б) 20 %;

В) 30 %.

Решение:

А) ß = 1/(1 + r)^t = 1/(1 + 0,1) ¹ = 0,9091;

Б) ß = 1/(1 + r)^t = 1/(1 + 0,2) ¹ = 0,8333;

В) ß = 1/(1 + r)^t = 1/(1 + 0,3) ¹ = 0,7692;

^{Задача № 8.}

^{Условие:}

Компания выбрала инвестиционный проект со следующими денежными потоками:

Число лет	Денежный поток, руб.
1	900
2	800
3	700
4	600

А) если учетная ставка равна 6 %, то какова будущая стоимость этих денежных потоков в 4 году?

Б) Какова будущая стоимость при учетной ставке 16 %?

Решение:

А) Формула будущей стоимости: FV = PV * (1 + r)^t Для каждого денежного потока рассчитаем будущую стоимость на 4-й год, а затем все сложим:

FV0 = 600;

FV1 = PV * (1 + r)^t = 700 * 1,06¹ = 742;

FV2 = PV * (1 + r)^t = 800 * 1,06² = 1,1236 * 800 = 898,88;

FV3 = PV * (1 + r)^t = 900 * 1,06³ = 1,191 * 900 = 1071,9.

Всего 1071,9 + 898,88 + 742 + 600 = 3312,78

Б) Проводим расчет для ставки 16 %:

FV0 = 600;

FV1 = PV * (1 + r)^t = 700 * 1,16¹ = 812;

FV2 = PV * (1 + r)^t = 800 * 1,16² = 1,3456 * 800 = 1076,48;

FV3 = PV * (1 + r)^t = 900 * 1,16³ = 1,560896 * 900 = 1404,8064.

Всего 1404,8064 + 1076,48 + 812 + 600 = 3893,29