2.2. Будущая стоимость ренты

Изучаемые вопросы:

• Наращенная сумма годовой ренты постнумерандо.

• Наращенная сумма годовой ренты пренумерандо.

• Наращенная сумма годовой ренты с начальным взносом.

После изучения этого материала необходимо ответить на вопросы для самопроверки и вопросы теста № 2.

2.2.1 Наращенная сумма годовой ренты постнумерандо

Рассмотрим случай потока ежегодных платежей R с начислением процентов в конце каждого года (постнумерандо) по сложной процентной ставке.

Сумма первого платежа S₁ с наращенными на него за весь срок процентами равна

S₁ = R(1 + i) ^{n - 1},

где n – количество платежей величиной R.

Для второго платежа, соответственно получим

S₂ = R(1 + i) ^{n – 2}.

Очевидно, что для последнего платежа проценты не начисляются:

S_n = R(1 + i) ⁰ = R.

Тогда для наращенной суммы ренты получим

S = R (1 + i)^{n – 1} + R (1 + i)^{n – 2} + ... + R.

Следует отметить, что сумма S представляет собой сумму n членов геометрической прогрессии с первым членом R и знаменателем q = (1 + i) > 1. Тогда для суммы ренты постнумерандо получим формулу

.

В

еличина

называется коэффициентом наращения ренты.

2.2.2. Наращенная сумма годовой ренты пренумерандо

Рассмотрим случай потока ежегодных платежей R с начислением процентов в начале каждого года (пренумерандо) по сложной процентной ставке.

Сумма первого платежа S₁ с наращенными на него за весь срок процентами равна

S₁=R(1 + i) ⁿ,

где n – количество платежей величиной R.

Для второго платежа, соответственно получим

S₂ = R(1 + i) ^n-1.

Очевидно, что для последнего платежа проценты не начисляются:

S_n =R(1 + i).

Тогда для наращенной суммы ренты получим

Отметим, что сумму пренумерандо можно получить из суммы постнумерандо, умножением на (1 + i)

S^пр = (1 + i) S.

Отсюда следует, что сумма пренумерандо больше суммы постнумерандо.

2.2.3. Наращенная сумма годовой ренты с начальным взносом

Д

опустим, что в начале срока ренты ее величина равна P₀ (первоначальная сумма ренты). В конце срока эта сумма будет равна

Р₀ (1 + i) ⁿ.

Тогда для наращенной суммы ренты получим

.

Пример 2.2.1

Допустим, что проект будет ежегодно в течение 3 лет давать доход по 100 000. Доход помещают на счет под 10 % годовых.

1) Найти сумму на счете при начислении сложных процентов постнумерандо и пренумерандо.

2) Найти сумму на счете процентов постнумерандо, если в начале срока ренты на счет единовременно внесена сумма $10 000.

Решение

Наращенная сумма постнумерандо в конце срока ренты будет равна

S = 100 000 (1 + 0,1)² + 100 000 (1 + 0,1)¹+ 100 000 (1 + 0,1)⁰ = 331 000

или .

Наращенная сумма пренумерандо в конце срока ренты будет равна

S^пр = 100 000(1 + 0,1)³ + 100 000 ( 1+ 0,1)² + 100 000(1 + 0,1)¹ = 364100

или S^пр = (1 + i) S = (1 + 0,1) 331 000 = 364 100.

3) Найдем наращение первоначального взноса 10 000 за три года

10 000 (1 + 0,1)³ = 13 310.

Чтобы получить наращения ренты с первоначальным взносом, нужно к наращенной сумме без первоначального взноса прибавить наращение первоначального взноса

S = 13 310+33 100=344 310.

2.3. Формула наращенной суммы постоянной p-срочной ренты

Изучаемые вопросы:

• Формула наращенной суммы, в которой начисление процентов и поступления платежей совпадают по времени.

• Формула наращенной суммы, в которой начисление процентов и поступления платежей не совпадают по времени.