Пример 1.1.2

Сумма в 700 тыс. руб. помещена в банк на депозит (хранение под проценты) на 4 года под 2 % годовых. Найти сумму в конце срока, если простые проценты начисляются:

1. в конце каждого года и

2. в конце каждого квартала.

Решение

Из условий задачи следует, что

• первоначальная сумма P =700 000,

• годовая процентная ставка i = 0.02,

• срок ссуды n = 4.

Тогда по формуле (1.1.1) получим сумму вклада при начислении процентов в конце каждого года

S = P (1 + n  i) = 700 000 (1+4  0.02 ) = 756  000 руб.

Процентные деньги I = P n  i = 700 000 4 0.02 = 56 000 руб. определяют вознаграждение, получаемое вкладчиком.

Для определения суммы вклада при начислении процентов в конце каждого квартала вычислим процентную ставку за квартал

i / 4 = 0,02/4 = 0,005.

Срок депозита равен m = 4, n= 16 кварталов. Тогда по формуле (1.1.3) получим сумму вклада

S = 700 000 (1+16  0,005) = 756  000 руб.

1.1.3. Наращение по сложной процентной ставке

Расчет сумм по сложной процентной ставке заключается в том, что за каждый период процентные деньги начисляются от всей накопленной к этому моменту суммы.

1. Пусть срок ссуды n – целое число. Тогда по истечении срока ссуды кредитор получает сумму

S = P (1 + i) ⁿ. (1.1.4)

2. Если срок ссуды равен t (t – доля года), то обобщая формулу (1.1.4), сумму долга рассчитывают по формуле

S = P (1 + i)^t. (1.1.5)

Коэффициент наращения в данном случае равен (1 + i)^t, а процентные деньги за весь срок ссуды равны

I = [(1 + i)^t - 1] P.

3. Пусть годовая процентная ставка равна j и начисление процентов производится m раз в году. Тогда за n лет проценты начисляются m n раз по процентной ставке j / m. Формула наращения будет иметь вид

. ( 1.1.6)

4) Непрерывное начисление процента.

Если число начислений процентов m стремится к бесконечности, то из формулы (1.1.6) получаем формулу для непрерывного начисления процентов

S = P e ⁱⁿ.

Чтобы отличить ставку непрерывного процента от дискретной ставки j, ее называют силой роста и обозначают δ.

Пример 1.1.3

Кредит в 10 000 долларов предоставлен на два года под 12 % годовых. Найти сумму долга

1) с ежегодным начислением сложных процентов,

2) с ежеквартальным начислением сложных процентов,

3) с ежедневным начислением сложных процентов.

Решение

Для решения первой части задачи используем формулу (1.1.3). Полагаем Р = 10 000, i % = 12 %, n = 2 года, период начисления процентов – один год. Тогда сумма, возвращаемая кредитору, будет равна

S = 10 000 (1 + 0,12)² = 10 000 (1,12)² = 12 544.

Д

ля решения второй части задачи используем формулу (1.1.5) c значением m = 4, так как начисление процентов производится поквартально. Следовательно, процентная ставка за период начисления процентов (квартал), равна число периодов начисления процентов n m=2  4=8.

Тогда сумма, возвращаемая кредитору, будет равна

S = 10 000 (1 + 0,03)⁸ = 10 000  1,26677 = 12 667,7.

Для решения третьей части задачи сначала используем формулу (1.3.5) cо значением m = 365, так как начисление процентов производится ежедневно. Следовательно, процентная ставка за период (один день) равна , а число периодов начисления процентов nm = 2  365 = 730.

Тогда сумма, возвращаемая кредитору, будет равна

S = 10 000 (1 + 0,00329)⁷³⁰ = 12 711,99.

Теперь найдем сумму долга, используя формулу непрерывного начисления процентов

S = P e ⁱⁿ = 10 000 e^0,12·2 = 10 000 1.271249 = 12 712.49.