4.2.3. Наращение по простой процентной ставке

Расчет сумм по простой процентной ставке заключается в том, что каждый год процентные деньги начисляются от первоначальной суммы, т. е. процентные деньги за каждый период начисления одни и те же. Обозначим:

P – первоначальная сумма (долга), т. е. сумма денег, получаемых заемщиком;

i – процентная ставка за период (десятичная дробь);

n – срок ссуды;

I – проценты (процентные деньги);

S – наращенная сумма, т. е. сумма долга с процентами.

Пусть срок ссуды n – целое число лет. Тогда по истечении срока ссуды кредитор получает сумму

S = P (1 + n∙i). (4.2.1)

Процентные деньги за весь срок будут равны I = P∙n∙i. Выражение (1 + n∙i) называют коэффициентом наращения. Он показывает увеличение первоначальной суммы.

Пусть теперь срок ссуды t выражается в долях года. Обобщая формулу (4.2.1), сумму долга рассчитывают по формуле

S = P (1 + t∙i), (4.2.2)

где t – доля года.

Если ссуда взята на s дней, то долю года t = s / K можно вычислять несколькими способами. Здесь символ K обозначает временную базу начисления процентов. При расчете процентов применяют обыкновенные (или коммерческие проценты) – при временной базе K = 360 дней в году (12 месяцев по 30 дней) – и точные проценты при временной базе K = 365 или 366 (високосный год) дней в году. Если ссуда взята на m месяцев, для вычисления коммерческих процентов доля года t = m / 12.

Пример

Сумма в 700 тыс. руб. помещена в банк на депозит на 4 месяца под 12 % годовых. Найти сумму в конце срока, если ежемесячно начисляются простые коммерческие проценты.

Решение

Из условий задачи следует, что первоначальная сумма P = 700 000, годовая процентная ставка i = 0,12, срок ссуды m = 4. Тогда доля года t = m / 12 = 4 / 12 = 1 / 3 и по формуле (4.2.2) получим сумму вклада через четыре месяца

S = P(1 + t∙i) = 700 000 (1 + 0,12/3) = 728 000 руб.

Процентные деньги I = P∙n∙i = 700 000∙0,04 = 28 000 руб. определяют вознаграждение, получаемое вкладчиком.

4.2.4. Наращение по сложной процентной ставке

Расчет сумм по сложной процентной ставке заключается в том, что за каждый период процентные деньги начисляются от всей накопленной к этому моменту суммы. Этот вариант расчета иногда называют капитализацией или реинвестированием. Обозначим:

P – первоначальная сумма,

i – процентная ставка,

n – срок,

S – наращенная сумма, т. е. сумма долга в конце срока.

Пусть срок ссуды n – целое число лет. Тогда по истечении срока ссуды кредитор получает сумму

S = P(1 + i)ⁿ. (4.2.3)

Пусть теперь срок ссуды t выражается в долях года. Обобщая формулу (4.2.3), сумму долга рассчитывают по формуле

S = P (1 + i)^t. (4.2.4)

Замечание. Последовательность накопленных на депозите сумм по сложной процентной ставке образует возрастающую геометрическую последовательность с первым членом P (1 + i) и знаменателем (1 + i). В то время как для схемы простых процентов последовательность накопленных на депозите сумм образует возрастающую арифметическую последовательность с первым членом P (1 + i) и разностью P∙i.

Пусть годовая процентная ставка равна j и период начисления – m раз в году. Следовательно, каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Формула наращения будет иметь вид

. (4.2.5)