Свойства ранга матрицы

1. Ранг матрицы, полученной транспонированием, равен рангу исходной матрицы.

2. Ранг матрицы останется неизменным, если вычеркнуть или приписать нулевую строку (т. е. строку, все элементы которой равны нулю) или нулевой столбец.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести кквазитреугольной форме. Ранг квазитреугольной матрицы равен r, поскольку ее минор с главной диагональю а11а22,...,аnn равен произведению не равным нулю а все миноры более высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки).

10) Теорема Кронекера-Капелли

  Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA^*.

            Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x₁  + x₂  + … + x_n 

 

            Доказательство.

            1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А^* не изменяют ранга.

            2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

11) Метод Гаусса

Наиболее известным и популярным прямым методом решения СЛАУ является метод Гаусса. Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных. Пусть в системе уравнений

первый элемент  . Назовем его ведущим элементом первой строки. Поделим все элементы этой строки на   и исключим x₁ из всех последующих строк, начиная со второй, путем вычитания первой (преобразованной), умноженной на коэффициент при   в соответствующей строке. Получим

.

Если  , то, продолжая аналогичное исключение, приходим к системе уравнений с верхней треугольной матрицей

.

Из нее в обратном порядке находим все значения x_i:

.

Процесс приведения к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом, а нахождения неизвестных – обратным. В случае если один из ведущих элементов равен нулю, изложенный алгоритм метода Гаусса неприменим. Кроме того, если какие–либо ведущие элементы малы, то это приводит к усилению ошибок округления и ухудшению точности счета. Поэтому обычно используется другой вариант метода Гаусса – схема Гаусса с выбором главного элемента. Путем перестановки строк, а также столбцов с соответствующей перенумерацией коэффициентов и неизвестных добиваются выполнения условия:

, j = i+1,i+ 2, …, m;

т.е. осуществляется выбор первого главного элемента. Переставляя уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент a₁₁ был максимальным по модулю. Разделив первую строку на главный элемент, как и прежде, исключают x₁ из остальных уравнений. Затем для оставшихся столбцов и строк выбирают второй главный элемент и т.д.

1) Векторы на плоскости и в пространстве - основные определения.

В этой статье мы дадим определение вектора с точки зрения геометрии, а также основные сопутствующие понятия. На плоскости и в пространстве вектор является полноценным геометрическим объектом, то есть, имеет вполне реальные очертания, которые Вы увидите на приведенных графических иллюстрациях.

Определение.

Вектор – это направленный отрезок прямой.

То есть, в качестве вектора мы принимаем отрезок на плоскости или в пространстве, считая одну из его граничных точек началом, другую – концом.

Для обозначения векторов будем использовать строчные латинские буквы со стрелочкой над ними, например  . Если заданы граничные точки начала и конца отрезка, к примеру А и В, то вектор будем обозначать как  .

Определение.

Нулевой вектор   – это любая точка плоскости или пространства.

Будем считать, что нулевому вектору можно придать любое направление на плоскости и в пространстве.

Определение.

Длина вектора   - это неотрицательное число, равное длине отрезка АВ.

Длину вектора   будем обозначать как  .

Так как обозначение длины вектора в точности совпадает со знаком модуля, то можно услышать, что длину вектора называют модулем вектора. Все же рекомендуем использовать термин "длина вектора". Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение.

Два вектора называют коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение.

Два вектора называют неколлинеарными, если они не лежат на одной прямой или параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору.

Определение.

Два коллинеарных вектора   и   называют сонаправленными, если их направления совпадают и обозначают  .

Определение.

Два коллинеарных вектора   и   называют противоположно направленными, если их направления противоположны и обозначают  ).

Будем считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым другим вектором.

Определение.

Два вектора называются равными, если они сонаправленные и их длины равны.

Определение.

Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны.

Понятие равных векторов дает нам возможность рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Другими словами, мы имеем возможность заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Пусть   и   два произвольных вектора на плоскости или в пространстве. Отложим от некоторой точки O плоскости или пространства векторы   и  . Лучи OA и OBобразуют угол  .

Определение.

Угол   называется углом между векторами   и  .

Угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или   радиан).

Определение.

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90градусам (или   радиан).