8) Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .

            Обозначается  или ( ,  , ).

Смешанное произведение  по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах  ,   и  .

                              

Свойства смешанного произведения:

 

            1)Смешанное произведение равно нулю, если:

                        а)хоть один из векторов равен нулю;

                        б)два из векторов коллинеарны;

                        в)векторы компланарны.

            2)

            3)

            4)

            5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами  ,   и  , равен

            6)Если  ,  , то

9) Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку    перпендикулярно вектору  , называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости   вектор   ортогонален (перпендикулярен) вектору  , следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

 

 или  .

10)Общее уравнение плоскости, его исследование

11) Уравнение плоскости в отрезках. 

Полное уравнение может быть приведено к виду

Это уравнение в отрезках. Числа а,b,с имеют простой геометрический смысл - они равны величинам отрезков, которые отсекаются на осях 0х, 0у, 0z.

12) Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки 

|	x - x1	y - y1	z - z1	|
|	x2 - x1	y2 - y1	z2 - z1	|	=	0
|	x3 - x1	y3 - y1	z3 - z1	|

Если использовать векторные обозначения P₁(x₁,y₁,z₁), P₂(x₂,y₂,z₂), P₃(x₃,y₃,z₃), X(x,y,z), операцию векторного умножения двух векторов а и bа  х  b = {Y₁Z₂ - Y₂Z₁, Z₁X₂ - Z₂X₁ , X₁Y₂-X₂Y₁}.Для запоминания удобно использовать запись этой формулы через определитель

		|	i	j	k	|
a x b	=	|	X1	Y1	Z1	|
		|	X2	Y2	Z2	|

тогда уравнение плоскости можно переписать в следующем виде

((P₁-P₂) x (P₂-P₁)) ^. (X-P₁) = 0

здесь первое умножение (х) - векторное, второе - скалярное.

13) Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов  .

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны:

 – условие параллельности прямых.

 

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:

 – условие перпендикулярности прямых.

Пример. Найти уравнения прямой проходящей через точку   параллельно прямой   .

Решение. Поскольку искомая прямая параллельна данной прямой, то в качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять направляющий вектор данной прямой.

 

По условию  , 

 – отсюда уравнение искомой прямой имеет вид:   .

Если две плоскости (α₁ и α₂) заданы общими уравнениями вида:

  A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0   и   A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,

то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n₁={A₁,B₁,C₁) и n₂={A₂,B₂,C₂). Косинус угла между плоскостями  α₁ и α₂  равен

                      

14) Пусть P_a = (x_a, y_a, z_a) точка, расстояние от которой необходимо подсчитать.

Плоскость можно задать нормалью n = (A, B, C) и одной точкой P_b = (x_b, y_b, z_b)

Произвольная точка P = (x,y,z) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда

A x + B y + C z + D = 0

Наименьшее расстояние между P_a и плоскостью будет равно абсолютной величине выражения

(A x_a + B y_a + C z_a + D) / sqrt(A² + B² + C²)

Знак самого выражения дает расположение точки относительно плоскости: с какой она стороны.