- •Алгебраические дополнения
- •2) Понятие матрицы
- •3) Линейные операции над матрицами.
- •4) Транспонирование матриц
- •5) Обратная матрица
- •6) Матричный метод решения систем линейных уравнений.
- •7) Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.Е. Определитель матрицы а
- •8) Метод элементарных преобразований
- •9) Ранг матрицы
- •Свойства ранга матрицы
- •11) Метод Гаусса
- •1) Векторы на плоскости и в пространстве - основные определения.
- •2) Операция сложения двух векторов - правило треугольника.
- •3)Линейная комбинация векторов
- •3) Базис. Разложение векторов по базису.
- •5) Ортогональные векторы. Ортонормированный базис.
- •6) Скалярное произведение
- •7) Векторным произведением векторов и называется вектор , который определяется следующими условиями:
- •8) Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .
- •13) Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •15) Векторно-параметрическое уравнение прямой
- •16) Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
- •17) Прямая как линия пересечения двух плоскостей
- •18) Параллельность, перпендикулярность прямых, угол между прямыми
- •22) Деление отрезка в данном отношении
- •23) Пучок плоскостей
2) Операция сложения двух векторов - правило треугольника.
3)Линейная комбинация векторов
Линейной комбинацией векторов называют вектор
где - коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если - нетривиальной.
Линейная зависимость и независимость векторов
Система линейно зависима что
Система линейно независима
Критерий линейной зависимости векторов
Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.
3) Базис. Разложение векторов по базису.
Определение. Базисом в пространстве Rn называется любая система из n-линейно независимых векторов. Каждый вектор из Rn, не входящих в базис, можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. разложить по базису. Пусть – базис пространства Rn и . Тогда найдутся такие числа λ1, λ2, …, λn, что . Коэффициенты разложения λ1, λ2, …, λn, называются координатами вектора в базисе В. Если задан базис, то коэффициенты вектора определяются однозначно. Пример. Доказать, что векторы образуют базис в R3. Решение. Покажем, что равенство возможно только при λ1 = λ2 = λ3 =0: или Решив систему, получим λ1=0, λ2=0, λ3=0. Так как все λi=0 (i=1,2,3), то - линейно независимы. Они могут составить базис в R3. Очевидно, любой новый набор из векторов может тоже быть взятым в качестве базиса в R3. Итак, базис может быть выбран неединственным образом. Замечание. В каждом n-мерном векторном пространстве можно выбрать бесчисленное множество различных базисов. В различных базисах один и тот же вектор имеет различные координаты, но единственные в выбранном базисе.
4) Проекция вектора на ось. Координаты вектора и его свойства
Пусть в декартовых координатах OXYZ вектор AB задан координатами начала А(х1;у1;z1) и конца В(х2;у2;z2) этого вектора.
Нам уже известно определение проекции точки на ось как основания перпендикуляра, проходящего через заданную точку.
Проекцией вектора AB на ось ОХ называется разность между абсциссами проекции конца и начала вектора AB.
т.е. ПРох AB=х2-х1, ПРоу AB=у2-у1, ПРoz AB=z2-z1.
Для краткости используют следующие обозначения данных проекций:
ПРох AB=Х, ПРоу AB=У и ПРоz AB=Z, тогда получаем Z=z2-z1, Х=х2-х1,
У=у2-у1.
Из рассмотренных формул следует, что проекция вектора на любую ось есть длина отрезка между основаниями перпендикуляров, опущенных из точек А и В на эту же ось, взятая со знаком “+”, если направление отрезка и направление оси совпадают, и со знаком “-“, если они противоположны.
Можно доказать, что: а) если проекции вектора заданы, то они однозначно определяют сам вектор; б) если два вектора равны, то они имеют равные проекции,
поэтому проекции вектора на оси называют его координатами
AB=(Х;У;Z).
Некоторые свойства проекции вектора на ось:
Для определённости будем рассматривать эти свойства относительно оси ОХ.
Предположим, что вектор a=AB образует с осью ОХ угол φ.
Угол между вектором a и осью определим следующим образом.
Через произвольную точку пространства проведем 2 луча – один ║ положительному направлению ОХ, а другой - ║ направлению вектора. Угол между лучами определяет угол между вектором и осью.
Проекция вектора на ось ОХ равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью.
Рис. 1.15. Проекция вектора на ось
Пусть задан вектор AB и АхВх - его проекция на ось ОХ. Опустив перпендикуляр из точки А на ось ОХ, получаем Ах.
Проведем через точку А прямую ║ вектору AB до пересечения ВВх и получим точку с. Из треугольника СВхА имеем
ПР ох AB=А хВх=│А хC│cosφ=│АВ│cosφ
Проекция суммы нескольких векторов на ось равна сумме проекций складываемых векторов на ту же осью;
При умножении вектора AB на число m, его проекция умножится на то же число m.