Добавил:

at2001 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

УМК по ТВ и МС

.pdf

Скачиваний:

108

Добавлен:

28.11.2019

Размер:

10.53 Mб

Скачать

☆

1 / 211 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЦЕНТР ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

А.Н. ТЫРСИН

МАТЕМАТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебное пособие

Челябинск – 2007

УДК [51:33](076.5) ББК 22.1я73

А.Н. Тырсин. Математика. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. Челябинск: Челябинский государственный универси-

тет, 2007, 209 с.

В учебном пособии в соответствии с ГОС высшего профессионального образования раскрыты основные разделы курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Изложение теоретического материала сопровождается иллюстративными примерами.

Предназначается студентам II курса экономических и управленческих специальностей заочной формы обучения.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Челябинского государственного университета.

Рецензенты: кафедра экономико-математических методов и статистики Южно-Уральского государственного университета; Г.А. Свиридюк, доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий кафедрой уравнений математической физики ЮжноУральского государственного университета

©Челябинский государственный университет, 2007.

©А.Н. Тырсин, 2007.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................................	7
ПРОГРАММА КУРСА «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА» ..........................................................................................................	8
РАЗДЕЛ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.................................................................	11
Глава 1. События и их вероятности.........................................................................	11
1.1. Определение понятия «вероятность»...............................................................	11
1.2. Конечное вероятностное пространство ...........................................................	12
1.3. Случайные события ...........................................................................................	13
1.4. Операции над событиями..................................................................................	14
1.5. Простейшие свойства вероятностей.................................................................	15
1.6. Классическое определение вероятности..........................................................	16
1.6.1. Элементы комбинаторики..............................................................................	16
1.7. Геометрическая вероятность.............................................................................	17
1.8. Условные вероятности.......................................................................................	19
1.9. Формула полной вероятности и формула Байеса...........................................	21
1.10. Независимость событий ..................................................................................	23
1.11. Статистическая независимость.......................................................................	24
Глава 2. Дискретные случайные величины............................................................	24
2.1. Счетное вероятностное пространство..............................................................	25
2.2. Дискретные случайные величины....................................................................	25
2.3. Схема Бернулли..................................................................................................	25
2.3.1. Распределение числа успехов в n испытаниях.............................................	25
2.3.2. Наиболее вероятное число успехов...............................................................	28
2.3.3. Номер первого успешного испытания..........................................................	29
2.4. Математическое ожидание................................................................................	30
2.5. Общие свойства математического ожидания..................................................	31
2.6. Дисперсия случайной величины.......................................................................	31
2.7. Общие свойства дисперсии...............................................................................	32
2.8. Индикаторы событий.........................................................................................	33
2.9. Независимость случайных величин.................................................................	34
2.10. Некоррелированность случайных величин...................................................	35
2.11. Предельные теоремы для схемы Бернулли...................................................	36
2.11.1. Пуассоновское приближение.......................................................................	37
2.11.2. Нормальное приближение............................................................................	39
2.11.3. О применимости предельных теорем в схеме Бернулли..........................	40
2.12. Неравенства Чебышева....................................................................................	41
2.13. Теорема Чебышева...........................................................................................	42
Глава 3. Общие случайные величины.....................................................................	44
3.1. Общее определение вероятностного пространства........................................	45
3.2. Случайные величины (общий случай) .............................................................	45
3.3. Непрерывные случайные величины.................................................................	48
3.3.1. Понятие непрерывной случайной величины................................................	48

3.3.2. Примеры абсолютно непрерывных распределений ....................................	50
3.4. Числовые характеристики абсолютно непрерывной случайной величины. 52
3.5. Нормальное распределение...............................................................................	57
Глава 4. Совместное распределение случайных величин.....................................	60
4.1. Совместная функция и плотность распределения..........................................	60
4.1.1. Двумерная случайная величина.....................................................................	61
4.1.2. Условные законы распределения двумерной дискретной случайной вели-
чины............................................................................................................................	63
4.2. Математическое ожидание функции от случайных величин........................	64
4.3. Независимость случайных величин.................................................................	64
4.4. О некоррелированных зависимых случайных величинах.............................	65
4.5. Преобразования случайных величин...............................................................	66
4.5.1. Преобразования одной случайной величины...............................................	66
4.5.2. Композиция законов распределений.............................................................	68
4.6. Многомерное нормальное распределение.......................................................	70
Глава 5. Предельные законы теории вероятностей...............................................	72
5.1. Закон больших чисел.........................................................................................	73
5.2. Центральная предельная теорема.....................................................................	73
Глава 6. Цепи Маркова.............................................................................................	75
6.1. Основные понятия теории марковских цепей.................................................	75
6.2. Теорема о предельных вероятностях...............................................................	77
6.3. Области применения цепей Маркова...............................................................	78
РАЗДЕЛ 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА..............................................	80
Глава 7. Основы выборочного метода ....................................................................	81
7.1. Общие сведения о выборочном методе...........................................................	81
7.2. Вариационные ряды и их характеристики.......................................................	82
7.2.1. Вариационные ряды и их графическое изображение..................................	82
7.2.2. Средние величины...........................................................................................	83
7.2.3. Показатели вариации и формы распределения............................................	84
7.3. Понятие оценки параметров..............................................................................	86
7.3.1. Среднее арифметическое выборочных значений как оценка математиче-
ского ожидания..........................................................................................................	87
7.3.2. Свойства оценки дисперсии...........................................................................	88
7.3.3. Сравнение оценок............................................................................................	89
7.4. Оценка функций распределения и плотности.................................................	90
Глава 8. Точечные и интервальные оценки параметров распределений.............	94
8.1. Методы построения точечных оценок.............................................................	94
8.1.1. Метод моментов..............................................................................................	94
8.1.2. Метод максимального правдоподобия .........................................................	96
8.1.3. Метод наименьших квадратов.......................................................................	98
8.2. Неравенство Рао–Крамера–Фреше...................................................................	99
8.3. Интервальные оценки числовых характеристик случайных величин........	101
8.3.1. Доверительный интервал для математического ожидания нормального
распределения при известной дисперсии.............................................................	102

8.3.2. Доверительный интервал для математического ожидания нормального
распределения при неизвестной дисперсии.........................................................	103
8.3.3. Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения..	104
Глава 9. Проверка статистических гипотез..........................................................	105
9.1. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки..................................	105
9.2. Критерии согласия...........................................................................................	108
9.2.1. Критерий согласия χ2−Пирсона...................................................................	108
9.2.2. Критерий согласия Колмогорова−Смирнова.............................................	111
9.3. Критерии однородности..................................................................................	113
9.3.1. Критерий однородности Смирнова.............................................................	113
9.3.2. Критерий Вилкоксона−Манна−Уитни........................................................	114
9.4. Гипотезы о числовых характеристиках случайных величин ......................	117
9.4.1. Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при из-
вестных математических ожиданиях....................................................................	117
9.4.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при неиз-
вестных математических ожиданиях....................................................................	118
9.4.3. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных ве-
личин при известных дисперсиях..........................................................................	119
9.4.4. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных ве-
личин при неизвестных дисперсиях......................................................................	120
9.5. Проверка гипотез о стохастической независимости элементов выборки..	122
9.5.1. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий......................................	122
9.5.2. Критерий стохастической независимости Аббе........................................	123
РАЗДЕЛ 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕН-
ТАЛЬНЫХ ДАННЫХ.............................................................................................	125
Глава 10. Дисперсионный анализ..........................................................................	126
10.1. Основные понятия дисперсионного анализа...............................................	126
10.2. Однофакторный дисперсионный анализ.....................................................	127
10.2.1. Аддитивная модель однофакторного дисперсионного анализа.............	127
10.2.2. Базовая таблица однофакторного дисперсионного анализа...................	128
10.3. Понятие о многофакторном дисперсионном анализе................................	131
10.3.1. Модель данных при независимом действии двух факторов ..................	131
10.3.2. Базовая таблица двухфакторного дисперсионного анализа при независи-
мом действии факторов..........................................................................................	132
10.3.3. Модель данных при взаимодействии факторов.......................................	133
Глава 11. Корреляционный анализ........................................................................	134
11.1. Типы признаков и их классификация ..........................................................	134
11.2. Виды зависимостей между количественными переменными...................	135
11.2.1. Функциональные и статистические зависимости....................................	135
11.2.2. Типы корреляционных зависимостей.......................................................	136
11.3. Анализ парных статистических связей между количественными перемен-
ными..........................................................................................................................	137
11.3.1. Диаграмма рассеяния. Эмпирическая линия регрессии..........................	137
11.3.2. Измерение тесноты парной связи. Коэффициент корреляции...............	139
11.3.3. Проверка наличия корреляции. Интервальная оценка rxy .......................	142

11.3.4. Оценка тесноты нелинейной связи............................................................	143
11.4. Анализ множественных количественных связей........................................	147
11.4.1. Множественный коэффициент корреляции.............................................	148
11.4.2. Частный коэффициент корреляции...........................................................	149
11.5. Ранговая корреляция......................................................................................	149
11.5.1. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.......................................	150
11.5.2. Коэффициент ранговой корреляции Кендалла........................................	151
11.5.3. Анализ множественных ранговых связей.................................................	153
Глава 12. Регрессионный анализ ...........................................................................	154
12.1. Основные положения регрессионного анализа...........................................	154
12.1.1. Задачи регрессионного анализа.................................................................	155
12.1.2. Многомерная нормальная регрессионная модель...................................	155
12.1.3. Выбор общего вида функции регрессии...................................................	156
12.1.4. Оценивание параметров функции регрессии...........................................	156
12.2. Парная линейная регрессионная модель .....................................................	157
12.2.1. Линейная одномерная модель регрессии..................................................	157
12.2.2. Оценка точности регрессионной модели..................................................	159
12.2.3. Оценка значимости уравнения регрессии ................................................	162
12.3. Общий случай регрессии...............................................................................	164
12.3.1. Множественный линейный регрессионный анализ ................................	164
12.3.2. Нелинейные модели регрессии..................................................................	166
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ..............................................	167
Ответы к задачам для самостоятельной работы..................................................	177
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.....................................................................................	179
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ....................................................................	194
ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.............................................................................	197
Вопросы теста..........................................................................................................	197
Ответы на тест.........................................................................................................	201
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.......................................................................................	202
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТАБЛИЦЫ ФУНКЦИЙ............................................................	203

ВВЕДЕНИЕ

Общие сведения.

Математика – система наук, изучающих количественные отношения и пространственные формы реальности. Математика является одной из важнейших составных частей подготовки современного экономиста и менеджера.

Цели и задачи изучений дисциплины.

Цель изучения данной дисциплины – приобретение студентами теоретических знаний и практических навыков по основным понятиям теории вероятностей и математической статистики.

Задачи курса:

1. Овладение студентами основными понятиями и методами теории вероятностей и математической статистики, что дает возможность использовать эти методы и понятия при изучении на последующих курсах учебных дисциплин, использующих математические методы.

2. Овладение студентами навыками применения основных математических понятий и методов теории вероятностей и математической статистики при исследовании конкретных экономических и управленческих задач, что дает им возможность применять эти методы и понятия в будущей профессиональной деятельности.

Связь с другими учебными дисциплинами.

Базовыми для данного курса являются дисциплины «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Математика».

Знания, полученные при изучении данного курса, могут найти применение:

-при изучении курсов «Экономическая теория», «Общая и экономическая статистика», «Математические модели в экономике и управлении», «Экономитрика» и т.д.,

-при изучении ряда прикладных экономических дисциплин, например «Планирование и прогнозирование в условиях рынка», «Теория фирмы», «Экономический анализ», «Логистика», «Методы принятия управленческих решений» и т.д.,

-в курсовом и дипломном проектировании.

ВЫПИСКА ИЗ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Специальности «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»:

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные события; частота и вероятность; основные формулы для вычисления вероятностей; случайные величины; числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных ве-

личин; нормальный закон распределения; генеральная совокупность и выборка; оценки параметров; корреляция и регрессия.

Специальности «Менеджмент организации», «Государственное и муниципальное управление»:

Теория вероятностей и математическая статистика. Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей. Вероятностное пространство. Случайные величины и способы их описания. Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социальноэкономических приложениях. Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствие. Особая роль нормального распределения: центральная предельная теорема. Цепи Маркова и их использование в моделировании социаль- но-экономических процессов. Статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.

ПРОГРАММА КУРСА «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Третий семестр

Теория вероятностей

1. Предмет теории вероятностей.

Значение теории вероятностей для экономической науки. Сущность и условия применимости теории вероятностей. Понятие теоретико-вероятностного эксперимента (испытания). Конечное вероятностное пространство.

2. Случайные события и их вероятности.

Понятие события. Алгебра событий. Свойства операций над событиями. Геометрическая иллюстрация. Простейшие свойства вероятностей. Вероятность произведения и суммы событий.

3. Понятие вероятности.

Классическое определение вероятности. Частотная трактовка вероятности случайного события. Геометрическая вероятность. Понятие условной вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Априорные и апостериорные вероятности гипотез, их применение в экономике. Независимость событий. Статистическая независимость.

4. Дискретные случайные величины.

Последовательности испытаний. Схема Бернулли. Пуассоновское и нормальное приближения формулы Бернулли. Понятие закона распределения дискретной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Дискретные распределения. Биномиальное распределение, распределение Пуассона. Неравенство и теорема Чебышева.

5. Непрерывные случайные величины.

Общее определение вероятностного пространства. Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения, их свойства. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Непрерывные распределения. Равномерное и показательное распределения. Нормальное распределение. Функция Лапласа и ее свойства. Использование функции Лапласа для определения вероятностей событий, связанных с нормально распределенной случайной величиной.

6. Многомерные случайные величины.

Система случайных величин. Совместная функция распределения, плотность распределения. Независимость и некоррелированность случайных величин. Преобразования случайных величин. Функции от случайных величин. Понятие о хи-квадрат-распределении, распределении Стьюдента и распределении Фишера. Применение нормального и связанных с ним распределений в экономике.

7. Предельные законы теории вероятностей.

Понятие о законе больших чисел. Устойчивость относительных частот и устойчивость средних. Понятие о центральной предельной теореме. Значение предельных теорем для решения экономических задач.

8. Цепи Маркова и их использование в моделировании социальноэкономических процессов.

Основные понятия теории марковских цепей. Теорема о предельных вероятностях Биркгофа–Неймана. Области применения цепей Маркова.

Математическая статистика

9. Предмет математической статистики.

Область применения математической статистики. Задачи математической статистики.

10. Основные понятия выборочного метода.

Генеральная совокупность и выборка. Повторная и бесповторная выборка. Репрезентативная выборка. Понятие оценки параметров. Эмпирическая функция и плотность распределения. Гистограмма частот.

11. Точечное и интервальное оценивание параметров распределения.

Точечное оценивание параметров распределения. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценок. Методы получения точечных оценок (метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов). Определение эффективных оценок с помощью неравенства Рао–Крамера– Фреше. Интервальное оценивание числовых характеристик случайных величин. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известном и при неизвестном среднеквадратическом отклонении этого распределения. Доверительный интервал дисперсии нормального распределения.

12. Проверка статистических гипотез.

Нулевая и конкурирующая гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий проверки гипотез. Уровень значимости. Мощность критерия. Общая схема проверки гипотезы.

Критерии согласия. Критерии однородности. Гипотезы о числовых характеристиках случайных величин. Гипотезы о стохастической независимости элементов выборки.

Статистические методы обработки экспериментальных данных

13. Основы дисперсионного анализа.

Задачи и основные понятия дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ. Понятие о многофакторном дисперсионном анализе.

14. Корреляционный анализ.

Задачи корреляционного анализа. Классификация переменных по виду шкалы принимаемых значений. Статистическая зависимость, ее виды. Анализ парных и множественных статистических связей между количественными переменными. Ранговая корреляция.

15. Элементы регрессионного анализа.

Задачи регрессионного анализа. Регрессия как частный случай статистической зависимости. Многомерная нормальная модель. Определение параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов. Коэффициенты регрессии и их свойства. Проверка качества эмпирического уравнения регрессии.

1 / 211 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>