- •1.Понятие векторов. Коллинеарность векторов. Компланарность векторов. Модуль вектора. Линейные операции над векторами: умножение на число и сложение векторов. Их свойства.
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Общие свойства линейной зависимости
- •3. Критерий линейной зависимости двух векторов. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам.
- •5.Базис на плоскости и в пространстве. Координаты и компоненты вектора. Ортонормированный базис. При линейных операциях над векторами координаты складываются и умножаются на число.
- •6.Проекция вектора на ось, ее выражение и простейшие свойства. Скалярное произведение двух векторов. Определение скалярного произведения. Геометрические свойства скалярного произведения.
- •7.Определение скалярного произведения. Алгебраические свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах. Орт вектора.
- •8.Правые и левые тройки векторов и системы координат. Определение векторного про изведения двух векторов. Геометрические свойства векторного произведения.
- •9.Алгебраические свойства векторного произведения. Определители 2 и 3 порядка. Выражение векторного произведения в декартовых координатах.
- •Вопрос 10.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 13.
- •19. Угол между двумя плоскостями. Условия паралельности и перпендикулярности плоскостей.
- •21.Принадлежность двух прямых плоскости. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.
- •22. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: совпадающие, параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Расстояние между ними.
- •23.Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности, перпендикулярности и принадлежности прямой плоскости.
- •24.Расстояние от точки до прямой в пространстве. Способ нахождения.
- •25.Условие того, что две прямые скрещиваются. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- •26.Определение эллипса, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства.
- •27.Определение гиперболы, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства
- •29. Уравнение кривой второго порядка. Определение центральной кривой. Необходимое и достаточное условие того, что кривая является центральной. Инварианты.
- •31.Преобразование декартовых координат при повороте осей. Преобразование коэффициентов уравнения второго порядка при повороте осей.
- •32.Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Случай центральной кривой
- •34 Классификация кривых второго порядка. Связь с инвариантами
- •35.Каноническое уравнение эллипсоида. Исследование формы методом сечений
- •36Гиперболоиды. Каноническое уравнение.. Исследование их формы методом сечений.
- •37Параболоиды. Каноническое уравнение. Исследование их формы методом сечений
- •38Цилиндрические и конические поверхности. Их уравнения.
- •39. Раздел № 4. Матрицы. Определители. Обратные матрицы
- •40. Матрицы. Действия над матрицами (произведение на число, сложение матриц). Операция умножения матриц, ее свойства
- •Свойства операции транспонирования матриц:
- •44Минор, дополнительный минор. Алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу)
- •45Обратная матрица. Критерий обратимости матрицы.
Свойства операции транспонирования матриц:
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
43Свойство линейности определителя. Свойства определителя, выражающие условия равенства его нулю. Операции над строками столбцами), не меняющие определителя.
1. Равноправие строк и столбцов. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.2. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны нулю, то определитель также равен нулю. Это свойство очевидно, так как каждое слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждого столбца (строки). 3. Антисимметрия. При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина остается неизменной.Доказательство свойств 1 и 3 основано на правиле расстановки знаков членов определителя.4. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.Действительно, при перестановке, например, двух одинаковых столбцов определитель не изменяется, но вместе с тем он в силу третьего свойства меняет знак на обратный, т. е.
, откуда или .5. Линейность. Если j-й столбец (i-я строка A) определителя det A является линейной комбинацией A λB + μC (A λB + μC) двух произвольных столбцов (строк) В и С , то и сам определитель оказывается линейной комбинацией det A det A(λB + μC) λdet A(B) + μdet A(C) определителей det A(B) и detA(C). Здесь det A(B) (det A(C)) – определитель, полученный из определителя det А заменой в нем j-го столбца A на столбец В (столбец С ).6. Общий множитель всех элементов какого-либо столбца (строки) определителя можно вынести за его знак. Отсюда следует, что если какой-либо столбец (строку) определителя умножить на число λ, то сам определитель умножится на это число.7. Если какой-либо столбец (строка) определителя является линейной комбинацией других его столбцов (строк), то определитель равен нулю.Свойства 6 и 7 вытекают из пятого свойства.8. Определитель не изменится, если к любому его столбцу (строке) прибавить произвольную линейную комбинацию его столбцов (строк).Действительно, в силу линейности определитель равен сумме исходного определителя и определителя с двумя одинаковыми столбцами (строками).9. Определитель суммы двух квадратных матриц одного и того же порядка n A и В , i, j = равен сумме всех различных определителей порядкаn, которые могут получиться, если часть строк (столбцов) брать совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы А, а оставшуюся часть – совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы В.Доказательство следует из свойства линейности определителя.10. Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей det (AВ) det A×det B.
44Минор, дополнительный минор. Алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу)
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
При выписывании определителя (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.
Дополнительный минор квадратнойматрицы порядка() —определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием строк истолбцов.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.Рассмотрим квадратную матрицуA n-го порядка. Выберем i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем i-ую строку и j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом Mi j:
. Алгебраическое дополнение Ai,j элемента ai j определяется формулой .
Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:
Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.