9.Алгебраические свойства векторного произведения. Определители 2 и 3 порядка. Выражение векторного произведения в декартовых координатах.

Г [ab] = — [Ьа] (свойство антиперестановочности сомножителей) ; 2° [(oa)b] = o[ab] (сочетательное относительно числового

множителя свойство); 3° [ (а+b) с] = [ас] + [bc] (распределительное относительно суммы векторов свойство); 4° [аа] = 0 для любого вектора а. Теорема. Если два вектора а и Ъ определены своими декартовыми прямоугольными координатами a={X1, Y1, Z1}, Ь = {Х2, Y2,Z2}> то векторное произведение этих векторов имеет вид [ab] = {YlZ2-Y2Zi, ZiX2-Z2Xl, Х,У2-Х2У1}. [ab] = Доказательство теоремы 2.17. Составим из тройки базисных векторов i, j и к все возможные пары и для каждой из пар подсчитаем векторное произведение. Учитывая, что базисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют единичную длину, получим [ii]=0,[ji]=-k,[ki]=j,[ij]=k,[jj]=0,[kj]=-I,[ik]=-j,[jk]=I,[kk]=0. Далее, принимая во внимание, что а = Х1i + У1j + Zik, b = Х2i +Y2j+ Z2k, и опираясь на установленную в предыдущем пункте возможность почленного векторного перемножения векторных многочленов, получим [ab] = X1X2 [ii] + X1Y2 [ij] + X1Z2 [ik] + Y1X2 [ji] + Y1Y2 [jj] + Y1Z2 [jk] + Z1X2 [ki] + Z1Y2[kj] + Z1Z2[kk] Из последнего равенства и соотношений B.46) вытекает разложение

[ab] = (Y1Z2 – Y2Z1)i + (Z1X2-Z2X1)j + (X1Y2-X2Y1)k, эквивалентное равенству B.45). Теорема доказана. Следствие. Если два вектора а = {X1, Y1,Z1} и b={X2,Y2,Z2}

коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т. е. X1/X2=Y1/Y2=Z1/Z2.

Вопрос 10.

Компланарность и условие компланарности трех векторов:

Двойное векторное произведение:

Смешанное произведение трех векторов

Определение и свойства:

Вопрос 12.

Уравнение прямой в отрезках:

Уравнение прямой в отрезках на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy имеет вид x/a+y/b=1, где a и b – некоторые отличные от нуля действительные числа.

Каноническое уравнение прямой на плоскости:

Если известны координаты точки A(x₀,y₀) лежащей на прямой и направляющего вектора

n = {l;m} то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу (x-x₀₎/l=(y-y₀)/m

Параметрические уравнения прямой:

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

где t – производный параметр, a_x,a_y – координаты x и y направляющего вектора прямой. При этом

Смысл параметра аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Вопрос 13.

Нормальное уравнение прямой:

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0

нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Определение и способ нахождения отклонения точки от прямой на плоскости:

-

Расстояние от точки до прямой:

Расстояние d от данной точки до прямой l (под этим расстоянием понимается длина  перпендикуляра, опущенного из точки на  прямую l ), заданной уравнением 

А х + B y + С = 0, определяется по формуле 

Условия параллельности, совпадения, перпендикулярности двух прямых:

Параллельности:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.   

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде Ax + By + C = 0, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

    

Перпендикулярности:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

   

Это условие может быть записано также в виде

k₁k₂ = -1.     

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде Ax + By + C = 0, то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

Угол между прямыми:

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, вычисляется по формуле: 

Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k₁x + b₁ и y₂ = k₂x + b₂, вычисляется по формуле: 

Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями 

(x-x₁)/m₁ = (y-y₁)/n₁ и (x-x₂)/m₂ = (y-y₂)/n₂, вычисляется по формуле: 

Формулы определяют значение тригонометрической функции одного из двух углов (острого или тупого) между заданными прямыми. Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правой части этих формул следует брать по модулю.

Различные задачи на прямые на плоскости. Биссектрисы углов при пересечении прямых. Пересекает ли отрезок заданную прямую? Различные задачи на прямые и плоскости. Различные виды уравнения прямой на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, общее уравнение, каноническое и параметрические уравнения. Геометрический смысл коэффициентов, входящих в уравнение каждого типа. Направляющий вектор и вектор нормали. Взаимное расположение точки и прямой на плоскости. Угол между прямыми. Взаимное расположение пары прямых. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. 

 Уравнения биссектрис углов между прямыми 

Ax + By + C = 0 и A₁x + B₁y + C₁ = 0:

Общее уравнение плоскости в пространстве

Всякое уравнение вида , где A, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется уравнением вида при некотором наборе чисел A, B, C и D.

Нормальный вектор

Нормальный вектор плоскости - это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к данной плоскости.

Полное и неполное уравнение плоскости.

Ax + By + Cz + D = 0 - полное уравнение плоскости (А,В,С) - вектор нормали к плоскости.

Если хотя бы один из коэффициентов равен нулю, уравнение не полное. Рассмотрим все виды неполных уравнений.

1. D=0 плоскость, проходящая через начало координат

2. А=0 плоскость параллельная оси 0х

3. В=0 плоскость параллельная оси 0у

4. С=0 плоскость параллельная оси 0z

5. А=0 В=0 плоскость параллельная плоскости 0ху

6. А=0 С=0 плоскость параллельная плоскости 0xz

7. В=0 С=0 плоскость параллельная плоскости 0yz

8. А=0 В=0 D=0 уравнение Cz=0 определяет плоскость 0ху

9. А=0 С=0 D=0 уравнение Ву=0 определяет плоскость 0xz

10. В=0 С=0 D=0 уравнение Ах=0 определяет плоскость 0yz

Геометрический смысл неполных уравнений

Пусть плоскость проходит через точку M₀ (x₀, y₀, z₀) и перпендикулярна вектору (M, N, L). Вектор (M, N, L) называется вектором нормали к плоскости.

Возьмем произвольную точку M(x, y, z), лежащую в этой плоскости, и найдем связь между координатами x, y, z в виде уравнения. Рассмотрим вектор .

Векторы иортогональны. Следовательно,  ·  = 0.

M(x - x₀) + N(y - y₀) + L(z - z₀) = 0 - уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору. Если раскрыть скобки в этом уравнении, то его можно привести Mx + Ny + Lz + К = 0,

где  К= - Mx₀ - Ny₀ - Lz₀. Следовательно, если плоскость задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, то вектор (A,B,C) является вектором нормали к плоскости.

Уравнение плоскости в отрезках.  

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D , заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:  Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум неколлинеарным векторам.

Пусть в координатном пространстве заданы:

а) точка ;

б) два неколлинеарных вектора 

Требуется составить уравнение плоскости, компланарной векторам и проходящей через точку

Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим— радиус-векторы точеки

Условие компланарности векторов можно записать, используя свойства смешанного произведенияПрименяя формулу, получаемуравнение плоскости, проходящей через заданную точку и компланарной двум неколлинеарным векторам:

Нормальное уравнение прямой:

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0

нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Расстояние от точки до плоскости: