- •1.Понятие векторов. Коллинеарность векторов. Компланарность векторов. Модуль вектора. Линейные операции над векторами: умножение на число и сложение векторов. Их свойства.
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Общие свойства линейной зависимости
- •3. Критерий линейной зависимости двух векторов. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам.
- •5.Базис на плоскости и в пространстве. Координаты и компоненты вектора. Ортонормированный базис. При линейных операциях над векторами координаты складываются и умножаются на число.
- •6.Проекция вектора на ось, ее выражение и простейшие свойства. Скалярное произведение двух векторов. Определение скалярного произведения. Геометрические свойства скалярного произведения.
- •7.Определение скалярного произведения. Алгебраические свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах. Орт вектора.
- •8.Правые и левые тройки векторов и системы координат. Определение векторного про изведения двух векторов. Геометрические свойства векторного произведения.
- •9.Алгебраические свойства векторного произведения. Определители 2 и 3 порядка. Выражение векторного произведения в декартовых координатах.
- •Вопрос 10.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 13.
- •19. Угол между двумя плоскостями. Условия паралельности и перпендикулярности плоскостей.
- •21.Принадлежность двух прямых плоскости. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.
- •22. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: совпадающие, параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Расстояние между ними.
- •23.Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности, перпендикулярности и принадлежности прямой плоскости.
- •24.Расстояние от точки до прямой в пространстве. Способ нахождения.
- •25.Условие того, что две прямые скрещиваются. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- •26.Определение эллипса, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства.
- •27.Определение гиперболы, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства
- •29. Уравнение кривой второго порядка. Определение центральной кривой. Необходимое и достаточное условие того, что кривая является центральной. Инварианты.
- •31.Преобразование декартовых координат при повороте осей. Преобразование коэффициентов уравнения второго порядка при повороте осей.
- •32.Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Случай центральной кривой
- •34 Классификация кривых второго порядка. Связь с инвариантами
- •35.Каноническое уравнение эллипсоида. Исследование формы методом сечений
- •36Гиперболоиды. Каноническое уравнение.. Исследование их формы методом сечений.
- •37Параболоиды. Каноническое уравнение. Исследование их формы методом сечений
- •38Цилиндрические и конические поверхности. Их уравнения.
- •39. Раздел № 4. Матрицы. Определители. Обратные матрицы
- •40. Матрицы. Действия над матрицами (произведение на число, сложение матриц). Операция умножения матриц, ее свойства
- •Свойства операции транспонирования матриц:
- •44Минор, дополнительный минор. Алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу)
- •45Обратная матрица. Критерий обратимости матрицы.
23.Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности, перпендикулярности и принадлежности прямой плоскости.
Известны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости 1)Прямая принадлежит плоскости Аксиома 1: Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат этой плоскости Аксиома 2: Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой либо прямой лежащей в этой плоскости. 2)Прямая параллельна плоскости. При решении вопроса о параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии:прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости и не принадлежит этой плоскости. 3) Прямая пересекает плоскость. Для того чтобы прямая и плоскость были параллельны: n⊥ a, (n,a)=0. Для того чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны: n||a, [n,a]=0. Вычисление угла к между прямой и плоскостью в пространстве: Угол между направляющим вектором рассматриваемой прямой и нормальным вектором равен π/2-ф, значит этот угол равен cos(π/2-ф)= sinф=|(a,n)/|a|<|n||; Значит угол между прямой и плоскостью равен: sinф=|(a,n)/|a|<|n||, ф=arcsin|(a,n)/|a|<|n||;
24.Расстояние от точки до прямой в пространстве. Способ нахождения.
Определение1: Расстоянием от точки M1 до прямой a называют расстояние между точками M1 и H1. Определение2: Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.
способ нахождения расстояния от точки M1(x1,y1,z1) до прямой a в пространстве.
Так как по определению расстояние от точки М1 до прямой a – это длина перпендикуляра M1H1, то, определив координаты (x2,y2,z2) точки H1, мы сможем вычислить искомое расстояние как расстояние между точками M1(x1,y1,z1) и H1(x2,y2,z2) по формуле |M1H1|=корень((x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2)Таким образом, задача сводится к нахождению координат основания перпендикуляра, построенного из точки М1 к прямой a. Сделать это достаточно просто: точка H1 – это точка пересечения прямой a с плоскостью, проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a.