3. Критерий линейной зависимости двух векторов. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.Д-во:1)Необходимость. Пусть два вектора a и b линейно зависимы. Докажем их коллинеарность. По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа m и n, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что справедливо равенство ma+nb=0.(2.6) Пусть для определенности отлично от нуля число n. Тогда из равенства (2.6) получим следующее : b=-(m/n)*a. Вводя обозначение k=-(m/n), получим, что b=ka. Таким образом, вектор b равен произведению вектора a на вещественное число k. По определению произведения вектора на число векторы a и b коллинеарны. Необходимость доказаана.2)Достаточность. Пусть вектора a и b коллинеарны. Докажем, что эти векторы линейно зависимы. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то эти векторы линейно зависимы в силу теоремы о нулевом векторе. Таким образом, нужно рассмотреть лишь случай, когда вектора a и b ненулевые. Но если вектор а ненулевой, то из коллинеарности векторов a и b то в силу теоремы( если вектор b коллинеарен ненулевому вектору а, то существует вещественное число k такое, что b=ka.) вытекает существование такого же вещественного k, что b=ka, или, что то же самое, ka+(-1)b=0.(2.7)Так как из двух чисел k, -1 одно заведомо отлично от нуля, то равенство(2.7) доказывает линейную зависимость векторов a и b. Следствие 1. Если векторы a и b не коллинеарны, то они линейно независимы. Следствие 2.Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора( иначе бы эти векторы оказались линейно зависимыми). Каковы бы ни были неколлинеарные вектора a и b для любого вектора c, лежащего в одной плоскости с векторами a и b, найдутся такие вещественные числа k и j, что справедливо равенство c=ka+jb.

4. Критерий линейной зависимости трех векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность. Д-во:1) Необходимость. Пусть три вектора a,b,c линейно зависимы. Докажем компланарность этих векторов. По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа m,n,l , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что справедливо равенство: ma+nb+lc=0. Пусть для определенности отлично от нуля число l. Тогда из нашего равенства получим следующее: c=-(m/l)a-(n/l)b. Вводя обозначение k=-m/l, j=n/l, перепишем последнее равенство в виде c=ka+jb. Если три вектора a,b,c приложены к общему началу О, то из нашего равенства следует, что вектор с равен диагонали параллелограмма, построенного на двух векторах: на векторе а, растянутом в k раз, и векторе b, растянутом в j раз. Но это означает, что векторы a,b,c лежат в одной плоскости, то есть компланарны. Необходимость доказана.2) Достаточность. Пусть векторы a,b,c компланарны. Докажем, что эти векторы линейно зависимы. Прежде всего, исключим случай, когда какая-либо пара из указанных трех векторов коллинеарна. Тогда в силу теоремы( необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.) , указанная пара векторов линейно зависима, а стало быть, и все три вектора a,b,c линейно зависимы. Остается рассмотреть случай, когда в тройке векторов a,b,c ни одна пара векторов не коллинеарна( и в частности, отсутствуют нулевые векторы). Перенесем три компланарных вектора a,b,c на одну плоскость и приведем их к общему началу О. Проведем через конец С вектора с прямые, параллельные векторам a, b . Обозначим буквой А точку пересечения прямой, параллельной вектору b, с прямой, на которой лежит вектор a, а буквой В точку пересечения прямой параллельной вектору а, с прямой, на которой лежит вектор b .( существование указанных точек вытекает из того , что векторы a,b не коллинеарны). В силу правила параллелограмма сложения векторов вектор c равен сумме векторов ОА и ОВ, т.е. с=ОА+ОВ. Так как вектор ОА коллинеарен ненулевому вектору а( с которым он лежит на одной прямой), то в силу теоремы( если вектор b коллинеарен ненулевому вектору а, то существует вещественное число k, такое , что b=ka) найдется вещественное число k, такое, что OA=ka. По аналогии ОВ=jb. Следовательно, с=ka+jb.Это можно записать в виде ka+jb+(-1)c=0. Т.к. из трех чисел k,j,-1 одно заведомо отлично от нуля, то последнее равенство доказывает линейную зависимость векторов a,b,c.Достаточность доказана. Следствие 1.Если векторы a,b,c не компланарны, то они линейно независимы. Следствие 2. Среди трех некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных векторов и не может быть ни одного нулевого вектора. Каковы бы ни были некомпланарные векторы a,b,c, для любого вектора d найдутся такие вещественные числа k,j,h, что справедливо равенство d=ka+jb+hc.