- •1.Понятие векторов. Коллинеарность векторов. Компланарность векторов. Модуль вектора. Линейные операции над векторами: умножение на число и сложение векторов. Их свойства.
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Общие свойства линейной зависимости
- •3. Критерий линейной зависимости двух векторов. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам.
- •5.Базис на плоскости и в пространстве. Координаты и компоненты вектора. Ортонормированный базис. При линейных операциях над векторами координаты складываются и умножаются на число.
- •6.Проекция вектора на ось, ее выражение и простейшие свойства. Скалярное произведение двух векторов. Определение скалярного произведения. Геометрические свойства скалярного произведения.
- •7.Определение скалярного произведения. Алгебраические свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах. Орт вектора.
- •8.Правые и левые тройки векторов и системы координат. Определение векторного про изведения двух векторов. Геометрические свойства векторного произведения.
- •9.Алгебраические свойства векторного произведения. Определители 2 и 3 порядка. Выражение векторного произведения в декартовых координатах.
- •Вопрос 10.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 13.
- •19. Угол между двумя плоскостями. Условия паралельности и перпендикулярности плоскостей.
- •21.Принадлежность двух прямых плоскости. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.
- •22. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: совпадающие, параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Расстояние между ними.
- •23.Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности, перпендикулярности и принадлежности прямой плоскости.
- •24.Расстояние от точки до прямой в пространстве. Способ нахождения.
- •25.Условие того, что две прямые скрещиваются. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- •26.Определение эллипса, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства.
- •27.Определение гиперболы, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства
- •29. Уравнение кривой второго порядка. Определение центральной кривой. Необходимое и достаточное условие того, что кривая является центральной. Инварианты.
- •31.Преобразование декартовых координат при повороте осей. Преобразование коэффициентов уравнения второго порядка при повороте осей.
- •32.Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Случай центральной кривой
- •34 Классификация кривых второго порядка. Связь с инвариантами
- •35.Каноническое уравнение эллипсоида. Исследование формы методом сечений
- •36Гиперболоиды. Каноническое уравнение.. Исследование их формы методом сечений.
- •37Параболоиды. Каноническое уравнение. Исследование их формы методом сечений
- •38Цилиндрические и конические поверхности. Их уравнения.
- •39. Раздел № 4. Матрицы. Определители. Обратные матрицы
- •40. Матрицы. Действия над матрицами (произведение на число, сложение матриц). Операция умножения матриц, ее свойства
- •Свойства операции транспонирования матриц:
- •44Минор, дополнительный минор. Алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу)
- •45Обратная матрица. Критерий обратимости матрицы.
25.Условие того, что две прямые скрещиваются. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
прямые l1 и l2 называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Пусть а и b — направляющие векторы этих прямых, а точки M1 и M2 принадлежат соответственно прямым и l1 и l2
Тогда векторы а, b, M1M2> не компланарны, и поэтому их смешанное произведение не равно нулю, т. е. (а, b, M1M2> ) =/= 0.Верно и обратное утверждение:если (а, b, M1M2> ) =/= 0, то векторы а, b, M1M2> не компланарны, и, следовательно, прямые l1 и l2 не лежат в одной плоскости, т. е. скрещиваются.Таким образом, две прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда выполнено условие(а, b, M1M2> ) =/= 0, где а и b — направляющие векторы прямых, а M1 и M2 — точки, принадлежащие соответственно данным прямым. Условие(а, b, M1M2> ) = 0 является необходимым и достаточным условием того, что прямые лежат в одной плоскости. Если прямые заданы своими каноническими уравнениями
то а = (а1; а2; а3), b = (b1; b2;b3), М1 (x1; у1; z1), М2(х2; у2; z2) и условие (2) записывается следующим образом:
Расстояние между скрещивающимися прямыми
это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
26.Определение эллипса, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства.
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фокусированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная.При этом не исключается совпадение фокусов эллипсиса.Если вокусы совпадают то эллипсис представляет собой окружность.Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):
Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.
Если же в правой части стоит единица со знаком минус, то получившееся уравнение:
описывает мнимый эллипс. Изобразить такой эллипс в действительной плоскости невозможно.Обозначим фокусы через F1 и F2,а расстояние между ними через 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов — через 2а
Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты:иПусть М(х;у) — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, , т. е.
Это, по сути, и есть уравнение эллипса.
27.Определение гиперболы, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которой абсолютная величина разности расстояния до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF1 – MF2|=2a или MF1 – MF2=±2a,
28.Определение параболы, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства. Параболой называется ГМТ плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости. F – фокус параболы; фиксированная прямая – директриса параболы. r=d,
r=; d=x+p/2; (x-p/2)2+y2=(x+p/2)2; x2-xp+p2/4+y2=x2+px+p2/4;y2=2px;
Свойства: 1.Парабола имеет ось симметрии(ось параболы); 2.Вся
парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Oxy при p>0, и в левой
если p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.