15. Принцип частотно-временной неопределённости. Проблема дискретного представления непрерывных сигналов.

Первым базовым свойством непрерывных сигналов является ПРИНЦИП ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ. Он заключается в следующем. Поскольку некоторая функция x(t)и ее спектрX(f)однозначно выражаются друг через друга, то сигнал можно рассматривать в любом из этих эквивалентных представлений – временном или частотном. Исследуем зависимость масштабных параметров этих представлений. С этой целью изменим масштаб по оси времени вaраз (т.е. воспроизведем сигналx(t)с другой скоростью) и найдем спектр функцииx(at):

Масштаб по частотной оси изменился в 1/aраз. Более того, из свойств преобразования Фурье следует, что сигналы с ограниченной длительностью имеют спектры неограниченной ширины, а сигналы с ограниченной полосой частот длятся бесконечно долго. Этот математический результат находится в противоречии с практикой: в реальности все сигналы конечны по длительности, а все чувствительные к сигналам устройства не могут воспринимать и воспроизводить абсолютно все частоты. Например, диапазон частот, к которым чувствителен слух человека, простирается от нескольких Гц до 20-30 кГц, а все различимые звуки человеческой речи длятся доли секунды. Таким образом, тот факт, что аналитическая функция времени не может быть одновременно ограниченной и по длительности, и по ширине спектра, является свойством данной модели сигнала. Это приводит к необходимости введения конечной точности реализаций функции времени, что придает результатам некоторую относительность.

Например, можно использовать энергетический критерий точности: сигнал считается имеющим конечную длительность T, если в этом интервале времени сосредоточена основная часть всей энергии функцииx(t); в то же время и ширина спектраFсигнала определяется как область частот, содержащая эту же часть всей энергии спектраX(f):

В данном выражении величина меньше 1, но достаточно близка к ней, а величина (1-) характеризует косвенным образом точность, о которой шла речь. Теперь можно говорить о том, какую «площадь» на плоскости «частота-время» занимает тот или иной сигнал. Изменяя форму сигналаs(t), можно изменять и занимаемую им площадь, причем уменьшать ее можно только до определенного предела, который достигается на кривой, являющейся гармоническим колебанием, которое модулировано по амплитуде гауссовым импульсом. При этом спектр этой кривой имеет такую же форму:

Существование предела, ниже которого нельзя сжать площадь сигнала, занимаемую им на плоскости «частота-время», называется принципом частотно-временной неопределенности сигналов (по аналогии с принципом неопределенности в квантовой механике):

F T  const > 0

ПРОБЛЕМА ДИСКРЕТНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ отображает второе базовое свойство. Она формулируется следующим образом: существуют ли условия, при которых любой непрерывной функции x(t) можно поставить во взаимно однозначное соответствие дискретное множество чисел {C_k (x)}, k=…-2, -1, 0, 1, 2…?

Наиболее используемым в настоящее время является разложение x(t) по координатным функциям {_k (t)}: ,

где координатные функции заранее известны и не должны зависеть от x(t). Числовые коэффициенты {C_k(x)} содержат всю информацию обx(t), соответственно, являются функционалами от этой функции (функционал – отображение множества функций в множество чисел). Однако значительный интерес привлекли разложения случайного процесса с ограниченной полосой частот. Теорема отсчетов:любая функция со спектром, находящимся в интервале [0, F], полностью определяется последовательностью ее значений в точках, отстоящих друг от друга на 1/(2F) единиц времени. Эта теорема является теоретическим обоснованием возможности на практике восстанавливатьx(t) по значениям ее реализации, взятым в моменты времениk/(2F). Эти значения называютсяотсчетами.