11. Игры с природой. Показатель благоприятности состояния природы. Риск игрока, принимающего решение. Матрица рисков. Принятие решений в условиях риска и неопределённости.

В игре с природой действуют два игрока, только один из которых действует осознанно. Этого игрока далее будем называть лицом, принимающим решения, обозначим его символом A. Природа, являясь вторым участником игры, не является ни противником, ни союзником игрока A, ибо она не действует осознанно злонамеренно против игрока A или за одно с ним, а принимает неопределённым образом то или иное свое состояние, не преследуя конкретной цели и абсолютно безразлично к результату игры. При этом игрок A на состояния природы не может оказывать никакого влияния.

Одним из важных предположений в теории игр с природой является предположение о том, что в любой момент времени природа П может находиться только в одном (но неизвестно, в каком) из n состояний П1, П2, …, П_n, то есть состояния природы разделены между собой во времени. Совокупность состояний природыП формируется либо на основе имеющегося опыта анализа состояний природы, либо в результате предположений и интуиции экспертов.

Для описания игры с природой необходимо также множество стратегий игрока A: .

Результаты реализации стратегий при различных состояниях природы могут быть описаны матрицей V:

.

Будем предполагать, что в платёжной матрице игры представлены выигрыши лица, принимающего решения.

Показателем благоприятности состояния природы для увеличения выигрыша называется наибольший выигрыш при этом состоянии, т.е. наибольший элемент вj-м столбце матрицы игры: ,,

Риском игрокаA при выборе им стратегии в условиях состоянияприроды называется разность между показателем благоприятностисостояния природыи выигрышем, т.е. разность между выигрышем, который игрокA получил бы, если бы знал заранее, что природа примет состояние , и выигрышем, который он получит при этом же состоянии, выбрав стратегию, т.е..

Матрица рисков

Ситуацию, когда известны вероятности состояний природы, назовём ситуацией принятия решений в условиях риска. Когда вероятности неизвестны, будем называть соответствующую ситуацию принятия решений ситуацией неопределённости.

11. Критерий Байеса оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.

Пусть известны состояния П­₁ … П­_n и вероятности q₁ … q_{n ,} с которыми природа П реализует эти состояния. Тогда мы находимся в ситуации принятия решения в условиях риска. Показателем эффективности стратегии по критерию Байеса относительно выигрышей называется среднее значение, или математическое ожидание выигрышаi-й строки с учётом вероятностей всех возможных состояний природы: ,.

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно выигрышей считается стратегия с максимальным показателем эффективности:(матрица выигрышей),(матрица потерь).

Критерий Байеса относительно выигрышей и относительно рисков эквивалентны, т.е. если стратегия S_io является оптимальной по критерию Байеса относительно выигрышей, то она является оптимальной и по критерию Байеса относительно рисков, и наоборот.

Пример.

	,	,	,	vi
S1	2	6	4	4,6
S2	5	1	3	2,4

Для матрицы выигрышей: ,. Для матрицы потерь:

,