2)В общем случае схема решения игры 2xn или nx2 графическим методом состоит в следующем.

1. Строят прямые, соответствующие стратегиям второго (первого) игрока.

2. Находят две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствуют две прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой. Эти стратегии являются активными в оптимальной смешанной стратегии второго (первого) игрока.

3. Находят координаты точки пересечения, тем самым определяя оптимальную стратегию первого (второго) игрока и цену игры.

4. Оптимальную стратегию другого игрока находят, решая систему уравнений, включающую его активные стратегии.

Пример 5.4. Найдите решение игры, заданной матрицей:

A =

7    9   8 10   6   9

.

Решение.

Сначала проверим наличие седловой точки: = 7, = 9. Поскольку нижняя и верхняя цены игры не совпадают, седловая точка отсутствует, и решение следует искать в смешанных стратегиях.

Выполним построения на плоскости XY в соответствии с методикой, приведенной выше. Результат представлен на рисунке 5.3.

Рисунок 5.3 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.4

Точка М находится на пересечении отрезков, соответствующих стратегиям B₁ и B₂ второго игрока.

Найдем ее координаты:

B₁B^'₁:

= ,  откуда  y = 3x + 7,

B₂B^'₂:

= ,  откуда  y = -3x + 9,

3x + 7 = -3x + 9, 6x = 2, x = 1/3, т.е. = 2/3, = 1/3, цена игры v = 8.

Активными стратегиями игрока B являются стратегии B₁ и B₂, следовательно, = 0.

Используя выражение (5.2), вытекающее из теоремы об активных стратегиях, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

7 + 9 = 8,  + = 1.

 

Второе уравнение умножим на семь и вычтем из первого:

2 = 1,  = 1/2,   = 1/2.

Ответ: U^* = (2/3, 1/3); Z^* = (1/2, 1/2, 0); v = 8.

Пример 5.5. Найдите решение игры, заданной матрицей:

A =

6   5 4   6 2   7 1   8

.

Решение.

Проверим наличие седловой точки.

= max (5, 4, 2, 1) = 5,  = min (6, 8) = 6.

Седловая точка отсутствует, поэтому решение следует искать в смешанных стратегиях.

Выполним построения на плоскости XY в соответствии с методикой, приведенной выше. Результат представлен на рисунке 5.4.

Рисунок 5.4 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.5

В данном случае необходимо отыскать точку, соответствующую минимальному гарантированному проигрышу. Такая точка (точка М) находится на пересечении отрезков, соответствующих стратегиям А₁ и А₄ игрока А.

Найдем координаты:

A₁A^'₁:

= ,  откуда  y = -x + 6,

A₄A^'₄:

= ,  откуда  y = 7x + 1,

7x + 1 = -x + 6, 8x = 5, x = 5/8,  = 3/8, = 5/8, v = 43/8.

Активными стратегиями игрока A являются стратегии A₁ и A₄, следовательно, = = 0.

Используя выражение (5.1), вытекающее из теоремы об активных стратегиях, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

6 + = 43/8,  + = 1.

 

Вычтем из первого уравнения второе:

5 = 35/8,  = 7/8, = 1/8.

Ответ: U^* = (7/8, 0, 0, 1/8); Z^* = (3/8, 5/8); v = 43/8.