11. Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока a.

Итак, мы можем сформулировать общий алгоритм геометрического нахождения оптимальных стратегий игрока А, цены игры, нижней и верхней цены игры в чистых стратегиях, седловых точек матрицы и доминирующих стратегий игроков.

1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].

2. В концах отрезка [0,1] проводим к нему 2 перпендикуляра: левый соответ. стратегии А₁и правый, соотв.стратегии А₂.

3. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) элементы a₁₁ иa₁₂ первой строки матрицы А

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] (как на вертикальной числовой оси) элементы a₂₁ иa₂₂ второй строки матрицы А

5. Соединяем точки, изображающие элементы с одинаковыми вторыми индексами, т.е. эл-ты, стоящие в одном и том же столбце матрицы А: a₁₁ сa₂₁иa₁₂сa_22.В результате получаем отрезкиa₁₁a₂₁иa₁₂a_22.

6. Если отрезки a₁₁a₂₁иa₁₂a₂₂не убывающие, то стратегия А₂доминирует стратегию А₁. Если отрезкиa₁₁a₂₁иa₁₂a₂₂возрастающие, то стратегия А₂ строго доминирует А_1.

7. Если отрезок a₁₁a₂₁лежит не ниже отрезкаa₁₂a₂₂, то стратегия В₂доминирует стратегию В₁. Если отрезокa₁₁a₂₁лежит выше отрезкаa₁₂a₂₂и не пересекается с ним, то стратегия В₂строго доминирует стратегию В₁

8. Находим нижнюю огибающую отрезков a₁₁a₂₁иa₁₂a₂₂

9. Находим наивысшие точки нижней огибающей

10. Проектируем их ортогонально на горизонтальный отрезок [0,1]

11. Полученные проекции р⁰определяют оптимальные стратегии Р⁰=(1-р₀,р₀) игрока А.

12. Ордината наивысшей точки огибающей равна цене игры V

13. Верхний из двух концов нижней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях

14. Нижний из двух верхних концов отрезков a₁₁a₂₁иa₁₂a₂₂есть верхняя цена игры в чистых стратегиях

15. Если элемент является нижним на перпендикуляре, где он лежит, и верхним концом отрезка a₁₁a₂₁илиa₁₂a₂₂, на котором он лежит, то этот эл-т является седловой точкой. В этом случае чистая стратегия игрока В, номер которой совпадает со вторым индексом седловой точки, является оптимальной.

Мы дали геометрическую интерпретацию оптимальных стратегий игрока А. Если матрица игры содержит седловую точку, то автоматически выявляется и оптимальная стратегия игрока В. Но можно достаточно удовлетворительно проинтерпретировать геометрически оптимальную стратегию игрока В и в случае отсутствия седловых точек.

11. Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока b.

1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].

2. В концах отрезка [0,1] проводим к нему 2 перпендикуляра: левый и правый

3. На левом перпендикуляре вертикальной числовой оси от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем все элементы матрицы А, за исключением а₂₂

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все эл-ты матрицы А, за исключением а₁₁

5. Каждый элемент на левом перпендикуляре соединим отрезком с каждым элементом на правом перпендикуляре, отличающимся от него только одним индексом. В результате получим отрезки a₁₁a₂₁,a₁₂a₂₂,a₁₁a₁₂иa₂₁a₂₂

6. Находим нижнюю огибающую отрезов a₁₁a₂₁иa₁₂a_22.

7. Находим аивысшую точку Nнижней огибающей.

8. Находим абсциссу р⁰наивысшей точки нижней огибающей.

9. Смешанная стратегия Р⁰=(1-р⁰, р⁰) является оптимальной стратегией игрока А.

10. Находим верхнюю огибающую отрезков a₁₁a₁₂иa₂₁a₂₂.

11. Находим наинизшую точку М верхней огибающей.

12. Находим абсциссу q⁰наинизшей точки верхней огибающей.

13. Смешанная стратегия Q⁰=(1-q⁰,q⁰) является оптимальной стратегией игрока В.

14. Ордината наивысшей точки нижней огибающей равна ординате наинизшей точки верхней огибающей и представляет собой цену игры V.

15. Т.о. найдено геометрическими средствами решение игры {P⁰,Q⁰,V}

16. Верхний из концов нижней огибающей (лежащей на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях

17. Нижний из концов верхней огибающей (лежащий на перпендикулярах) есть верхняя цена игры в чистых стратегиях