11. Критерий Севиджа

Критерий Сэвиджа — один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Условиями неопределённости считается ситуация, когда последствия принимаемых решений неизвестны, и можно лишь приблизительно их оценить. Для принятия решения используются различные критерии, задача которых — найти наилучшее решение максимизирующее возможную прибыль и минимизирующее возможный убыток.

Математическое описание игры: Множество состояний природы Sп={ П₁, … П_n}; Множество состояний игрока S_А={ S₁, … S_n}; Платёжная матрица игры V .

Помимо ситуации, когда игрок действует в условиях неопределённости, существует ситуация в условиях риска. Тогда игрок использует критерий Сэвиджа. Для этого исходная матрица заменяется на матрицу риска, где

r _i,j =

показатель благоприятности j состояния природы.

Оптимальной чистой стратегией является:

Т.о. оптимальной среди чистых стратегий по критерию Севиджа считается та чистая стратегия максимальный риск которой является минимальным среди максимальных рисков всех чистых стратегий. Таким образом Игрок выбирает стратегию с минимальным значением из самых крупных рисков. Поэтому оптимальная стратегия по критерию Сэвиджа гарантирует игроку А при любых состояниях природы риск, не больший, чем минимакс.

Пример

Исходная таблица

	9	4	1
	7	1	8
	11	3	7

Строится матрица матрица рисков. В ячейках матрицы величина сожаления — разница между максимальным результатом при данном исходе (максимальном числе в данном столбце) и результатом при выбранной стратегии. Сожаление показывает величину, теряемую при принятии неверного решения.

В столбец V_i^s выписываем максим. Элементы по строкам .

Получим следующую матрицу :

				Vi^s
	2	0	7	7
	4	3	0	4
	0	1	1	1

Находим мин. Элемент в столбце V_i^s : S^*=S₃ , r^*=1

11. Миниминный критерий.

Или критерий крайнего оптимизма, т.к. он ориентирует игрока А на самые благоприятные для него состояния природы при которых риск равен 0.

Строится матрица рисков, исходя из того, что:

r^* _{I o} =

Оптимальной является стратегия S _io с минимальным показателем неэффиктивности:

Пример.

Исходная тадлица.

	9	4	1
	7	1	8
	11	3	7

В столбец V^*_i выписываем миним. Элементы по строкам. Получаем следующую таблицу:

				V^*i
	9	4	1	1
	7	2	8	2
	11	6	7	6

Далее находим миним. Элемент из столбца V^*_i .Ответ : S^*=S₁ , V^*=1

11. Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно рисков.

В играх с природой игроку приходится не только выбирать стратегии для достижения оптимального выигрыша, но и учитывать риски принимаемых решений. Таким образом, критерий Гурвица можно определить относительно рисков, в данном случае, критерий будет представлять собой комбинацию критерия Сэвиджа и миниминного критерия. Этот критерий будем называть критерием пессимизма-оптимизма Гурвица относительно рисков, или (Hur)^r (λ)-критерием, где λ [0,1] – показатель оптимизма.

В качестве показателя неэффективности чистой стратегии A_i по критерию Гурвица относительно рисков

[ (Hur)^r (λ) ] рассматривается число:,i=1,2,…,m (1.1)

где (Sav)_i и µ_i – показатели неэффективности стратегии A_i соответственно по критерию Сэвиджа и по миниминному критерию.

Показатели неэффективности чистой стратегии можно записать в следующей форме:

, λ [0,1],i=1,2,…,m (1.2)

Из которой понятно, что является линейной функцией аргументаλ [0,1] с угловым коэффициентом.

Ценой игры в чистых стратегиях () по критерию Гурвица относительно рисков являетсянаименьший из показателей неэффективности всех чистых стратегий:

, λ [0,1] (1.3)

Чистую стратегию A_k с наименьшим показателем неэффективности называется оптимальной во множестве чистых стратегий по критерию Гурвица относительно рисков, т.е.:

, λ [0,1] (1.4)

Использую формулу (1.1), находим =(Sav)_i и =. Таким образом видно, что критерий Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно рисков приλ = 0 превращается в Критерий Сэвиджа оптимальности чистых стратегий, а при λ = 1 – в миниминный критерий оптимальности чистых стратегий.