6. Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока a.

Т. Ситуация (A_i0, B_jo) будет удовлетворительна для игрока А Тогда и только тогда, когда его выигрыш совпадет с показателем неэффективностистратегииB_jo игрока В: , то есть будет максимальной вj-ом столбце матрицы игры

Д-во: Пусть ситауция (A_i0, B_jo) удовлетворительна для игрока А. Тогда по определению справедливо нер-во .Из этого неравенства и по определению(1) показателя неэффективности стратегииB_j0 следует, что , то есть нер-водоказано. Тогда применяя (1) приj=j₀ получим , то есть доказано

6. Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока b

Т. Ситуация (A_i0, B_jo) будет удовлетворительна для игрока В Тогда и только тогда, когда его проигрыш совпадет с показателем эффективностистратегииA_io игрока A: , то естьбудет минимален вi-ой строке матрицы игры

Д-во: Если ситауция (A_i0, B_jo) удовлетворительна для игрока В, то из нер-ва и равенстваприi=i₀ получим и рав-водоказано

Если же это справедливо то по приi=i₀ будем иметь то есть доказано неравенство

6. Равновесие в антагонистической игре.

Ситуация (A_i0, B_jo) называется равновесной , если она удовлетворительна для каждого из игроков А и В то есть если выполняются неравенства и:(1) или равенстваи:(2)

Таким образов двойное нер-во (1) и двойное равенство (2) эквивалентны

11. Смешанные стратегии. Функция выигрыша и цена игры в смешанных стратегиях.

Смешанная стратегия игрока – стратегия игрока, состоящая в случайном выборе им одной из своих чистых стратегий с определенной вероятностью, поэтому смешанную стратегию, например, игрока А, имеющегоmчистых стратегий можно представитьm-мерным вектором Р=(р₁,…,р_m), р_i,i=1,2,…m.

Смешанной стратегией игрока называется совокупность его чистых стратегий с определёнными для них вероятностями выбора:

, , .

Цена игры в смешанных стратегиях – общее значение нижней и верхней цены игры в смеш.стратегиях: V=относительно которых доказано, что они всегда существуют и равны.

Нижняя цена:

Верхняя цена игры:

Функция определенная на декартовом произведениимножеств смешанных стратегийисоответственно игроковA и B и ставящая в соответствие каждой ситуации в смешанных стратегияхигрокаA и Q = игрокаB средневзвешенный выигрыш игрока А в этой ситуации, определяемый выражением в правой части равенства , называется выигрыш-функцией игрока А в смешанных стратегиях.

Выигрыш функция в смешанных стратегиях, заданную в координатной форме, можно представить и в матричной форме: , где- вектор-строка смешанной стратегии игрока А размера [1m]; А-матрица выигрышей игрока А в чистых стратегиях размера [mn],- вектор столбец размера [n1] смешанной стратегии игрока B.