50. Модель «Проблема общего».

Рассмотрим теоретико-игровую проблему, связанную с использованием некоторого общего ресурса. Данная проблема поставлена в следующей её интерпретации.

Пусть в игре участвуют K фермеров. Летом их козы пасутся на зелёном поле. Обозначим через – число коз уk-го фермера. Тогда численность всего стада будет составлять величину . Затраты на покупку и содержание козы равны величинеc. Будем предполагать, что данная величина не зависит от количества коз в наличии у фермера. Стоимость одной козы определим как функцию .

Предполагая, что козе необходим определённый уровень пропитания для выживания, будем считать, что существует некоторое максимальное число коз, которое может прокормиться, . Тогда функция стоимости козы может быть описана следующим образом:

, если , но, если.

Весной одновременно и независимо фермеры выбирают, сколько заводить коз, т.е. определяют величину . Выигрышk-го фермера определим с помощью функции .

Таким образом, если существует равновесная по Нэшу игровая ситуация , то величинадолжна максимизировать функциюв условиях существования оптимальной ситуации для других игроков.

Решив задачи оптимизации ,для всех участвующих в игре фермеров, получим систему:

, ,.

Решив эту систему, получим набор оптимальных по Нэшу стратегий игроков.

51. Оптимальность по Парето в неантагонистических (бескоалиционных) играх.

Ситуация в бескоалиционной игреназываетсяоптимальной по Парето, если не существует ситуации , для которой имеет место неравенство,.

Другими словами, в оптимальной по Парето ситуации игроки не могут совместными усилиями увеличить выигрыш кого-либо из них, не уменьшив при этом выигрыш кого-либо другого.

Подчеркнём формальное различие ситуации равновесия по Нэшу от ситуации, оптимальной по Парето: в первой ни один игрок, действуя в одиночку не может увеличить своего собственного выигрыша; во второй – все игроки, действуя совместно, не могут увеличить выигрыш любого игрока, не ухудшив положения другого или других игроков.

В равновесии по Нэшу соглашение о выборе фиксированной ситуации равновесия удерживает каждого игрока от отклонения от неё. В оптимальной по Парето ситуации отклонившийся игрок может в некоторых случаях получить существенно больший выигрыш. В то же время сильно равновесная ситуация ,или,(строгие знаки неравенства) является и оптимальной по Парето.

52. Позиционная форма игры.

Позиционная игра – это бескоалиционная игра, моделирующая процессы последовательного принятия решений игроками в условиях меняющейся во времени и, вообще говоря, неполной информации.

Процесс самой игры состоит в последовательном переходе от одного состояния игры к другому, который осуществляется либо путём выбора игроками одного из возможных действий в соответствии с правилами игры, либо случайным образом. Право выбора первого хода в позиционных играх часто определяется случайным образом.

Состояния игры принято называть позициями (отсюда и название – позиционные игры), а возможные выборы в каждой позиции – альтернативами.

Характерной особенностью позиционной игры является возможность представления множества позиций в виде древовидного упорядоченного множества, которое называется деревом игры

Символы П, A и B в кружке указывает, кто из игроков, П, A и B, делает очередной ход. При этом символом П обычно обозначается ход в игре, осуществляемый не игроком, а каким-нибудь случайным механизмом. Например, в позиционной игре, представленной тут своим деревом, первый ход производится случайно.

Пользуясь графическим описанием игры, можно сказать, что процесс игры состоит в переходе от начальной позиции к окончательной через непосредственно следующие одна за другой промежуточные позиции.

Каждая окончательная вершина определяет единственную цепь (последовательность идущих друг за другом звеньев), связывающую начальную вершину сданной

Такая цепь называется партией. Число различных партий равно числу окончательных вершин (позиций).

В каждой окончательной позиции задан числовой выигрыш игроков.

Различают позиционные игры с полной информацией и позиционные игры с неполной информацией.

Позиционная игра называется игрой с полной информацией, если в любой точке любой ее партии игрок, делающий ход, точно знает, какие выборы были сделаны раньше.

В игре с неполной информацией позиция дерева игры, в которой находится игрок, точно неизвестна. Этот игрок знает лишь некоторое множество позиций, в которых он потенциально может находиться на данном этапе реализации игры. Такое множество позиций называют информационным множеством игры.