- •4. Максиминный и минимаксный принципы игроков. Показатели эффективности и неэффективности чистых стратегий.
- •5. Максимин и минимакс игры. Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цена игры в чистых стратегиях. Соотношение между ними.
- •Критерий решения игры в чистых стратегиях.
- •Доказательство утверждения .
- •Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока a.
- •Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока b
- •Равновесие в антагонистической игре.
- •Смешанные стратегии. Функция выигрыша и цена игры в смешанных стратегиях.
- •Теорема о существовании показателей эффективности и неэффективности смешанных стратегий в антагонистической игре.
- •Теорема о существовании нижней и верхней цен игры в смешанных стратегиях.
- •Теорема о соотношении нижней и верхней цен игры в чистых и смешанных стратегиях.
- •Основная теорема матричных игр Джона фон Неймана и седловая точка функции
- •Аналитическое решение игры 2×2 в смешанных стратегиях.
- •Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока a.
- •Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока b.
- •Геометрический метод нахождения цены игры 2×n и оптимальных стратегий игрока a.
- •Геометрический метод нахождения цены игры m×2 и оптимальных стратегий игрока b.
- •2)В общем случае схема решения игры 2xn или nx2 графическим методом состоит в следующем.
- •Доминирование смешанных стратегий для игрока a.
- •Доминирование смешанных стратегий для игрока b.
- •Решение матричной игры m×n сведением к задаче линейного программирования для игрока a.
- •Решение матричной игры m×n сведением к задаче линейного программирования для игрока b.
- •Основные понятия и определения теории игр с природой.
- •Игры с природой. Показатель благоприятности состояния природы. Риск игрока, принимающего решение. Матрица рисков. Принятие решений в условиях риска и неопределённости.
- •Критерий Байеса оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Критерий Байеса оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
- •Критерий Лапласа оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Критерий Лапласа оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
- •Критерий (крайнего пессимизма) Вальда оптимальности чистых стратегий.
- •Максимаксный критерий (крайнего оптимизма) оптимальности чистых стратегий.
- •Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Определение показателей оптимизма и пессимизма игрока, принимающего решения по критерию Гурвица относительно выигрышей.
- •Учёт выигрышей по критерию Гурвица крайним пессимистом, крайним оптимистом и нейтралом.
- •Критерий Севиджа
- •Миниминный критерий.
- •Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
- •Критерий Гермейера оптимальности чистых стратегий
- •Критерий Ходжа – Лемана оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Основные понятия и определения в теории неантагонистических (бескоалиционных) игр. Способы задания неантагонистической игры.
- •Стратегическая форма игры. Чистые и смешанные стратегии игроков в неантагонистических (бескоалиционных) играх. Доминирование стратегий.
- •Равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.
- •Семейная пара принимает решение о месте куда они могут пойти в свободное время. Так он предлагает футбол, а она балет
- •Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.
- •46. Аналитическое решение биматричных игр 2×2.
- •Аналогичный анализ можно провести для второго игрока.
- •47. Геометрическое решение биматричных игр 2×2
- •48. Модель дуополии по Курно.
- •49. Модель дуополии по Бертрану.
- •50. Модель «Проблема общего».
- •51. Оптимальность по Парето в неантагонистических (бескоалиционных) играх.
- •52. Позиционная форма игры.
- •53. Понятие о конечных играх с совершенной информацией.
- •54. Стратегическая форма позиционной игры с совершенной информацией.
- •55. Равновесие по Нэшу в позиционной игре с совершенной информацией.
- •56. Обратная индукция и позиционные игры с совершенной информацией.
- •57. Модель дуополии по Штакельбергу.
- •58. Модель последовательного торга.
- •59. Модель «инвесторы и банк».
Аналогичный анализ можно провести для второго игрока.
47. Геометрическое решение биматричных игр 2×2
Пусть имеется играс матрицей А
|
B1 |
B2 |
A1 |
a11 |
a12 |
А2 |
a21 |
a22 |
Алгоритм «А»
1.Берем горизонтальный отрезок [0,1].
()
2.В концах отрезка [0,1] проводим к нему два перпендикуляра: левый, соответствующий чист. стратегии, и правый-.
3.На левом перпендикуляре от его пересечения с отрезком [0,1] в точке 0 откладываем элементы первой строки матрицы А.
4.На правом перпендикуляре от его пересечения с отрезком [0,1] в точке 1 откладываем элементы второй строки матрицы А.
5.Соединяем точки, изображающие элементы с одинаковыми вторыми индексами (элементы, стоящие в одном и том же столбце матрицы А). В результате получаем отрезки .
Прямые на графике:
6.Если отрезкинеубывающие:, то стратегиядоминирует стратегию
Если отрезкивозрастающие:, то стратегиястрого доминирует стратегию
7.Если отрезоклежит не ниже отрезка, то стратегиядоминирует стратегию
Если отрезоклежит выше отрезка, не пересекается с ним, то стратегиястрого доминирует стратегию
8. Показатель эффективности смешанной стратегии Р=(1-р,p)
- это функция от р, являющаяся нижней огибающей функции Н(Р, В1) и Н(Р, В2) (отрезковсоответственно).
9.Находим наивысшие точки нижней огибающей.
10.Проектируем их ортогонально на горизонтальный отрезок [0,1].
11.Полученные проекции определяют оптимальные стратегииигрока А.
12.Ордината наивысшей точки огибающей равна цене игры
= .
13.Верхний из двух концов нижней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях .
14.Нижний из двух верхних концов отрезковесть верхняя цена игры в чистых стратегиях
15.Если элемент является нижним на перпендикуляре, где он лежит, и верхним концом отрезка, на котором он лежит, то этот элемент является седловой точкой. В этом случае чистая стратегия игрока В, номер которой совпадает со вторым индексом седловой точки, является оптимальной.
Алгоритм «В»
|
B1 |
B2 |
A1 |
a11 |
a12 |
А2 |
a21 |
a22 |
1.Берем горизонтальный отрезок [0,1].
2.В концах отр9езка [0,1] проводим к нему два перпендикуляра: левый, соответствующий стратегии B1 и правый, соответствующий стратегии B2.
3. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем элементы первого столбца матрицы А.
4.На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем элементы второго столбца матрицы А.
5.Соединяем точки, изображающие элементы с одинаковыми первыми индексами (элементы, стоящие в одной и том же строке матрицы А). В результате получаем отрезки .
6..Находим верхнюю огибающую отрезков.
7.Находим наинизшую точку М верхней огибающей.
8.Находим абсциссу наинизшей точки верхней огибающей.
9.Смешанная стратегия является оптимальной стратегией игрока В.
10.Ордината наинизшей точки верхней огибающей и представляет собой цену игры .
11.Нижний из концов верхней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть верхняя цена игры в чистых стратегиях
14.Верхний из двух нижних концов отрезковесть нижняя цена игры в чистых стратегиях