- •4. Максиминный и минимаксный принципы игроков. Показатели эффективности и неэффективности чистых стратегий.
- •5. Максимин и минимакс игры. Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цена игры в чистых стратегиях. Соотношение между ними.
- •Критерий решения игры в чистых стратегиях.
- •Доказательство утверждения .
- •Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока a.
- •Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока b
- •Равновесие в антагонистической игре.
- •Смешанные стратегии. Функция выигрыша и цена игры в смешанных стратегиях.
- •Теорема о существовании показателей эффективности и неэффективности смешанных стратегий в антагонистической игре.
- •Теорема о существовании нижней и верхней цен игры в смешанных стратегиях.
- •Теорема о соотношении нижней и верхней цен игры в чистых и смешанных стратегиях.
- •Основная теорема матричных игр Джона фон Неймана и седловая точка функции
- •Аналитическое решение игры 2×2 в смешанных стратегиях.
- •Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока a.
- •Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока b.
- •Геометрический метод нахождения цены игры 2×n и оптимальных стратегий игрока a.
- •Геометрический метод нахождения цены игры m×2 и оптимальных стратегий игрока b.
- •2)В общем случае схема решения игры 2xn или nx2 графическим методом состоит в следующем.
- •Доминирование смешанных стратегий для игрока a.
- •Доминирование смешанных стратегий для игрока b.
- •Решение матричной игры m×n сведением к задаче линейного программирования для игрока a.
- •Решение матричной игры m×n сведением к задаче линейного программирования для игрока b.
- •Основные понятия и определения теории игр с природой.
- •Игры с природой. Показатель благоприятности состояния природы. Риск игрока, принимающего решение. Матрица рисков. Принятие решений в условиях риска и неопределённости.
- •Критерий Байеса оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Критерий Байеса оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
- •Критерий Лапласа оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Критерий Лапласа оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
- •Критерий (крайнего пессимизма) Вальда оптимальности чистых стратегий.
- •Максимаксный критерий (крайнего оптимизма) оптимальности чистых стратегий.
- •Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Определение показателей оптимизма и пессимизма игрока, принимающего решения по критерию Гурвица относительно выигрышей.
- •Учёт выигрышей по критерию Гурвица крайним пессимистом, крайним оптимистом и нейтралом.
- •Критерий Севиджа
- •Миниминный критерий.
- •Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
- •Критерий Гермейера оптимальности чистых стратегий
- •Критерий Ходжа – Лемана оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Основные понятия и определения в теории неантагонистических (бескоалиционных) игр. Способы задания неантагонистической игры.
- •Стратегическая форма игры. Чистые и смешанные стратегии игроков в неантагонистических (бескоалиционных) играх. Доминирование стратегий.
- •Равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.
- •Семейная пара принимает решение о месте куда они могут пойти в свободное время. Так он предлагает футбол, а она балет
- •Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.
- •46. Аналитическое решение биматричных игр 2×2.
- •Аналогичный анализ можно провести для второго игрока.
- •47. Геометрическое решение биматричных игр 2×2
- •48. Модель дуополии по Курно.
- •49. Модель дуополии по Бертрану.
- •50. Модель «Проблема общего».
- •51. Оптимальность по Парето в неантагонистических (бескоалиционных) играх.
- •52. Позиционная форма игры.
- •53. Понятие о конечных играх с совершенной информацией.
- •54. Стратегическая форма позиционной игры с совершенной информацией.
- •55. Равновесие по Нэшу в позиционной игре с совершенной информацией.
- •56. Обратная индукция и позиционные игры с совершенной информацией.
- •57. Модель дуополии по Штакельбергу.
- •58. Модель последовательного торга.
- •59. Модель «инвесторы и банк».
53. Понятие о конечных играх с совершенной информацией.
Любая игра называется конечной, если она содержит конечное число игроков (k) функции выигрышей k-го игрока (). В игре с совершенной информацией все действия игроков идут последовательно, а не одновременно. Игроки наблюдают действия природы.
54. Стратегическая форма позиционной игры с совершенной информацией.
Отметим очень важное обстоятельство. Имея набор стратегий каждого игрока, мы можем построить нормальную, или стратегическую, форму данной игры.
Заранее определённую последовательность ходов игрока, выбранную им в зависимости от информации о ходах другого игрока и ходах природы, будем называть чистой стратегией этого игрока.
В том случае, если в игре нет случайных ходов, выбор игроком A и игроком B чистых стратегий однозначно определяет исход игры – приводит к окончательной позиции, где игрок A и получает свой выигрыш. Именно это обстоятельство позволяет сводить позиционную игру к матричной игре. Процесс сведения позиционной игры к матричной называется нормализацией позиционной игры.
Пример. Рассмотрим в позиционной форме обобщённую неантагонистическую игру двух игроков A и B с совершенной информацией.
У игрока A две чистые стратегии: – выбратьU, – выбратьD.
У игрока B четыре стратегии:
–, выбрать U при любом выборе игрока A;
–, выбрать U, если игрок A выбрал U и выбрать D, если игрок A выбрал D;
–, выбрать D, если игрок A выбрал U и выбрать U, если игрок A выбрал D;
–, выбрать D при любом выборе игрока A.
Дерево игры представлено на рис. 8.7.
Рис. 8.7
Здесь пары отражают выигрыши игроков в каждом из четырёх исходов игры. Нормализация игры даёт следующую таблицу выигрышей игроков:
| |||||||||
U | |||||||||
D |
55. Равновесие по Нэшу в позиционной игре с совершенной информацией.
Теорема. В конечной игре с совершенной информацией существует равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.
Пример 6. Фирма E (entrant) – новичок – рассматривает вопрос о том, входить ли на рынок, где в текущий момент есть одна единственная укоренившаяся фирма I (incumbent). Если E решается на вход, то I может ответить двумя способами: она может предоставить вход, отдавая часть своих продаж, но, не изменяя цену, либо она может вступить в хищническую войну, которая приведёт к «драматическому» снижению цен. Дерево данной игры представлено на рис. 8.8.
Рис. 8.8.
Стратегии игрока E:
–не входить на рынок– входить на рынок.
Стратегии игрока I:– объявить войну игрокуE, если он вошёл в рынок;– предоставить игрокуE вход, отдавая часть своих продаж, но, не изменяя цену.
Соответствующая игре нормальная форма имеет вид:
|
I | ||
E |
(0, 2) |
(0, 2) | |
(−3, −1) |
(2, 1) |
В этой игре две равновесных по Нэшу ситуации (0, 2) и (2, 1) в чистых стратегиях. Но первая из этих ситуаций представляет собой предсказание, не являющееся разумным. Для того, чтобы исключить ситуации типа мы рассмотримпринцип последовательной рационализации: стратегия игры должна преписывать оптимальный ход в каждой вершине дерева. Т.е., если игрок находится в некоторой вершине дерева, его стратегия должна предписывать оптимальный выбор, начиная с этой точки, при данных стратегиях его оппонентов. Согласно данному принципу стратегия не является оптимальной, поскольку равновесной по Нэшу ситуации соответствует стратегия. Если игрокE вошёл на рынок, оптимальным поведением игрока I будет предоставить возможность E действовать на рынке.
Итак, после того как E выбрал стратегию , оптимальной стратегией для игрокаI будет . Теперь мы можем определить оптимальное поведение фирмыE до её входа на рынок. Это можно сделать, рассмотрев редуцированную позиционную форму, где после входа на рынок игрока E принятие решения игроком I заменено на соответствующие выигрыши, которые возникают при оптимальном его поведении (рис. 8.9).
Рис. 8.9.
В результате получаем простейшую задачу индивидуального решения, причём очевидным является решение игрока E войти на рынок.