3.6. Уточненная гидродинамическая теория червячных нагнетателей
Для построения уточненной теории червячных нагнетателей поставим следующую краевую задачу, подобную решенной в линейной теории:
;
.
(3.68)
Задачу (3.68) преобразуем следующим образом:
(3.69)
;
(3.70)
;
(3.71)
; (3.72)
;
(3.73)
.
(3.74)
Физический смысл расщепления задачи (3.68) на две задачи – (3.71), (3.73) и (3.72), (3.74) – заключается в том, что первая задача определяет скорости частиц жидкости в канале с неподвижными стенками, вызванные перепадом давления р, а вторая – скорости, вызванные движением верхней стенки канала при отсутствии перепада давления. Рассмотрим решение второй задачи, поскольку первая уже решалась при изучении течения жидкости в цилиндрическом канале прямоугольного сечения.
Пусть
, (3.75)
тогда из уравнения (3.72) получим
(3.76)
Поскольку (3.76) должно быть удовлетворено при любых x и y, то можно записать следующее тождество:
,
(3.77)
где k – некоторая константа, k > 0.
Из выражения (3.77) получим два однородных линейных дифференциальных уравнения в обычных производных:
;
(3.78)
.
(3.79)
Для уравнения (3.78) из краевых условий (3.75) получим краевые условия
(3.80)
Отбросив тривиальное решение уравнения (3.78)
, (3.81)
ищем решение уравнения (3.78) в виде экспоненциальной функции
.
(3.82)
Далее находим характеристическое уравнение, имеющее комплексные корни, и с помощью уравнений Эйлера переходим к обычным тригонометрическим функциям:
; (3.83)
, (3.84)
где С1, С2, А, В – константы интегрирования;
.
(3.85)
По уравнениям Эйлера получим
.
(3.86)
С помощью краевых
условий (3.80) находим тривиальное решение
(А = 0, В = 0) и
нетривиальное решение (А = 0,
).
В нетривиальном решении последнее выражение можно удовлетворить следующим образом:
(3.87)
Тогда
. (3.88)
Дифференциальное уравнение (3.79) превращается в систему дифференциальных уравнений вида
(3.89)
или
.
(3.90)
Решение уравнения (3.90) аналогично решению уравнения (3.87), однако из-за знака «минус» решение по формулам Эйлера представляется в гиперболических синусах и косинусах:
. (3.91)
С учетом выражений (3.76), (3.88) и (3.91) запишем
.
(3.92)
Согласно теории линейных дифференциальных уравнений, общее решение будет суммой частных решений:
.
(3.93)
Будем находить константы интегрирования по краевым условиям
.
(3.94)
Запишем формулу (3.93) с учетом условий (3.94):
.
(3.95)
Далее используем теорию рядов Фурье:
. (3.96)
Поскольку
,
то Dn
= 0. (3.97)
Краевое условие для скоростей на верхней стенке канала (предполагаем, как и ранее, условие прилипаемости среды к материалу насоса) имеет вид
.
(3.98)
Тогда выражение (3.93) можно записать так:
.
(3.99)
По теории рядов Фурье запишем
(3.100)
и
.
(3.101)
Проведя интегрирование в правой части уравнения (3.101), выразим
.
(3.102)
Поскольку четные n = 2, 4, 6… дают тривиальное решение Еn = 0, будем учитывать только нечетные слагаемые n = 1, 3, 5…, при которых числитель в правой части формулы (3.102) равен двум. Теперь распределение скоростей течения в канале определяется формулой вида
(3.103)
или
. (3.104)
Двойным интегрированием получим расход среды, обусловленный движением верхней стенки канала червяка:
.
(3.105)
Заметим, что сомножитель перед квадратными скобками в последнем выражении (3.105) совпадает с первым слагаемым в формуле расхода среды в упрощенной линейной теории червячных нагнетателей:
.
(3.106)
Следовательно, выражение в квадратных скобках в последнем выражении формулы (3.105) можно рассматривать как поправочный коэффициент, зависящий от отношения ширины канала b к ее глубине h и учитывающий тормозящее действие боковых неподвижных стенок глубокого червячного канала. По этому поправочному коэффициенту можно расчетным путем оценить погрешность первого слагаемого в формуле расхода упрощенной линейной теории червячных нагнетателей и определить применимость упрощенной теории в расчетах. Например, при h = b погрешность первого слагаемого в формуле (3.106) составляет около 50 %.
Задача о распределении скоростей течения в прямоугольном канале под воздействием перепада давления была решена ранее, тогда запишем
.
(3.107)
После двойного интегрирования, аналогичного (3.105), получим формулу для расхода жидкости при перепаде давления:
.
(3.108)
Учитывая формулы (3.69), (3.105) и (3.108), получим окончательно для червячного нагнетателя с глубокими каналами выражение для расходно-напорной характеристики:
.
(3.109)
Если представить выражения в квадратных скобках формулы (3.109) следующим образом:
;
(3.110)
,
(3.111)
то формулу (3.109) можно записать так:
,
(3.112)
а поправочные коэффициенты kv и kp, как функции отношения глубины канала к ее ширине, можно затабулировать (табл. 3.3).
Таблица 3.3