- •Методика обучения алгебре основной школы
- •Рецензент:
- •Содержание
- •Введение
- •Тема1. Содержание и задачи обучения алгебре в основной школе. Характеристика альтернативных учебников
- •1.1. Алгебра как наука и алгебра как учебный предмет
- •1.2. Цели преподавания и содержание курса алгебры основной школы
- •1.3. Характеристика альтернативных учебников математики основной школы
- •1.3.1. Школьное математическое образование и учебник математики
- •1.3.2. Концептуальные основы альтернативных учебников
- •Тема 2. Воспитание вычислительной культуры учащихся
- •Тема 3. Методика изучения числовых систем
- •3.1. Различные подходы к введению числовых множеств
- •3.2. Множество натуральных чисел
- •3.3. Методика изучения дробных чисел
- •3.3.1. Обыкновенные дроби
- •3.3.2. Методика изучения десятичных дробей
- •3.4. Методика изучения целых чисел
- •3.5. Действительные числа
- •Тема 4. Методика изучения тождественных преобразований
- •4.1. Роль и место тождественных преобразований в школьном курсе математики. Пропедевтика тождественных преобразований в 5 - 6 классах
- •4.2. Определения понятий «тождество» и «тождественное преобразование»
- •4.3. Процесс формирования навыков тождественных преобразований
- •4.4. Доказательство тождеств
- •Тема 5. Методика изучения уравнений в основной школе
- •5.1. Различные трактовки общего понятия «уравнение»
- •5.2. Процесс решения уравнения
- •5.3. Основные этапы изучения уравнений в основной школе
- •Тема 6. Методика изучения линии неравенств в курсе алгебры основной школы
- •6.1. Пропедевтический этап (1 – 6 кл.)
- •6.2. Основной этап (Алгебра 7 – 9 кл.)
- •Тема 7. Методика изучения функций в курсе алгебры основной школы
- •7.1. Определение функции в школьных учебниках
- •7.2. Проблемы, возникающие при изучении темы «Функция»
- •7.3.Основные знания, формируемые при изучении темы «Функция»
- •7.4. Введение понятия «Линейная функция»
- •7.5. Методика изучения квадратичной функции
- •7.5.1. Определение квадратичной функции и ее свойства
- •7.5.2.Методические замечания к изучению темы «Квадратичная функция»
- •150000, Ярославль. Республиканская ул., 108
- •150000, Ярославль, Которосльная наб., 44
4.4. Доказательство тождеств
В процессе обучения у учащихся должны быть сформированы навыки доказательства тождеств следующими способами.
Если надо доказать, что А=В, то можно
1. доказать, что А - В = О,
2.доказать, что А/В = 1,
3. преобразовать А к виду В,
4. преобразовать В к виду А,
5. преобразовать А и В к одному виду С.
В качестве опоры, на которой строятся доказательства тождеств, используются свойства арифметических операций. Иногда в доказательстве привлекаются геометрические понятия и методы. Геометрические доказательства не только поучительны и наглядны, но и способствуют усилению межпредметных связей.
Доказательства тождеств можно разделить на три типа в зависимости от того, насколько они удовлетворяют требованиям строгости:
а) Не полностью строгие рассуждения, требующие использования метода математической индукции для придания им полной строгости. Эти доказательства применяются для вывода правила действий с многочленами, свойств степеней с натуральными показателями. Например,
акар = (а ·а·······а) (а ·а········а) = а ·а········а = ак+р
к раз р раз к+р раз
б) Полностью строгие рассуждения, опирающиеся на основные свойства арифметических действий и не использующие других свойств числовой системы. Основная область применения таких доказательств - тождества сокращенного умножения. Многие из утверждений, выражаемых формулами сокращенного умножжения, допускают наглядно-геометрическую иллюстрацию.
Пример Для тождества учитель может предложить следующую иллюстрацию:
|
a |
b |
c |
a |
a2 |
ab |
ac |
b |
ab |
b2 |
bc |
c |
ac |
bc |
c2 |
в) Полностью строгие рассуждения, использующие условия разрешимости уравнений вида Ψ(х) = а, где Ψ - изучаемая элементарная функция. Такие доказательства характерны для вывода свойств степени с рациональным показателем и логарифмической функции. Например, при доказательстве свойства арифметического корня
(1)
будем опираться на переформулировку определения арифметического квадратного корня: для неотрицательных чисел х и у равенства у = и
у2 = х равносильны, поэтому (1) равносильно ()2 = ()2 (2). Откуда следует, а в = ()2()2 = а в.
Прием доказательства, который здесь использовался, применяется довольно редко, тем не менее, необходимо подчеркнуть, что основная идея доказательства состоит в сопоставлении двух операций (или функций) - прямой и обратной к ней, что найдет применение уже в старшей школе.
Технологическая цепочка формирования алгоритмов и приемов
тождественных преобразований выражений в основной школе
Линия |
Алгоритм и приемы вычислений |
Целые выражения Виды целых выражений (одночлен, многочлен), их степень, стандартный вид, частные случаи, формулы сокращенного умножения. Действия с целыми выражениями: разложение многочлена на множители; выделение полного квадрата в трехчлене. |
1. Алгоритмы выполнения основных действий с целыми выражениями. 2. Приемы разложения многочлена на множители. 3. Специальный прием выделения полного квадрата в трехчлене. 4. Обобщенный прием упрощения целого выражения. 5. Приемы доказательства тождества. |
Рациональные выражения Основное свойство дробного выражения и следствия из него. Сокращение дробных выражений. Действия с рациональными выражениями. |
6. Приемы записи преобразований рациональных выражений. 7. Приемы использования аналогии с действиями над рациональными числами в общих и частных случаях. 8. Обобщение приемов 4 и 5. |
Иррациональные выражения Основное свойство корня, простейшие преобразования корней. Действия с корнями, возведение выражения в степень с дробным показателем. |
9. Специальные приемы основных преобразований арифметических корней. 10.Приемы преобразования выражений со степенями с рациональным показателем. 11.Прием доказательства неравенств. 12.Обобщение приемов 2, 4, 5 и 11. |
Задание к лекции
Проанализировав школьные учебники составить таблицу тождественных равенств с указанием множества, на котором оно выполняется.
Пример, М1– те х , для которых имеет смыслf(x).