- •Методика обучения алгебре основной школы
- •Рецензент:
- •Содержание
- •Введение
- •Тема1. Содержание и задачи обучения алгебре в основной школе. Характеристика альтернативных учебников
- •1.1. Алгебра как наука и алгебра как учебный предмет
- •1.2. Цели преподавания и содержание курса алгебры основной школы
- •1.3. Характеристика альтернативных учебников математики основной школы
- •1.3.1. Школьное математическое образование и учебник математики
- •1.3.2. Концептуальные основы альтернативных учебников
- •Тема 2. Воспитание вычислительной культуры учащихся
- •Тема 3. Методика изучения числовых систем
- •3.1. Различные подходы к введению числовых множеств
- •3.2. Множество натуральных чисел
- •3.3. Методика изучения дробных чисел
- •3.3.1. Обыкновенные дроби
- •3.3.2. Методика изучения десятичных дробей
- •3.4. Методика изучения целых чисел
- •3.5. Действительные числа
- •Тема 4. Методика изучения тождественных преобразований
- •4.1. Роль и место тождественных преобразований в школьном курсе математики. Пропедевтика тождественных преобразований в 5 - 6 классах
- •4.2. Определения понятий «тождество» и «тождественное преобразование»
- •4.3. Процесс формирования навыков тождественных преобразований
- •4.4. Доказательство тождеств
- •Тема 5. Методика изучения уравнений в основной школе
- •5.1. Различные трактовки общего понятия «уравнение»
- •5.2. Процесс решения уравнения
- •5.3. Основные этапы изучения уравнений в основной школе
- •Тема 6. Методика изучения линии неравенств в курсе алгебры основной школы
- •6.1. Пропедевтический этап (1 – 6 кл.)
- •6.2. Основной этап (Алгебра 7 – 9 кл.)
- •Тема 7. Методика изучения функций в курсе алгебры основной школы
- •7.1. Определение функции в школьных учебниках
- •7.2. Проблемы, возникающие при изучении темы «Функция»
- •7.3.Основные знания, формируемые при изучении темы «Функция»
- •7.4. Введение понятия «Линейная функция»
- •7.5. Методика изучения квадратичной функции
- •7.5.1. Определение квадратичной функции и ее свойства
- •7.5.2.Методические замечания к изучению темы «Квадратичная функция»
- •150000, Ярославль. Республиканская ул., 108
- •150000, Ярославль, Которосльная наб., 44
7.5. Методика изучения квадратичной функции
Изучение функции в школе состоит из основных трех частей:
- изучение понятия функция и способов ее задания;
- исследование функции элементарными средствами;
- изучение начал математического анализа их применение к исследованию функций средствами дифференциального исчисления.
Свойства функции в основной школе устанавливаются по графику, на основе наглядных соображений и соответствующих приемов. Перечень свойств, подлежащих рассмотрению, увеличивается постепенно по мере овладения учащимися соответствующим теоретическим материалом.
Уровень требований к объему и глубине знаний учащихся о функциях постепенно повышается. Они учатся исследовать функцию на трех «языках»: графическом, словесном и символическом.
В 10 классе повторяются и обобщаются общие сведения о функциях. Основным понятиям – «числовая функция» и «способ задания числовой функции» - даются более точные определения и обозначения, уточняются определения всех основных свойств функций и приемов их выявления элементарными средствами при сохранении графической интерпретации, появляется задача построения графика функции на основе ее исследования.
7.5.1. Определение квадратичной функции и ее свойства
Практически во всех учебниках изучение данной темы начинается с введения определения квадратичной функции.
Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида , где- независимая переменная,некоторые числа, причём.
Изучение квадратичной функции происходит в следующей последовательности:
1), где(график - парабола);
2), где.
Предлагается рассмотреть следующие функции:, которые обладают теми же свойствами, что и функция, а их графики строятся с использованием некоторых преобразований.
3) . Учащиеся усваивают, что график данной функции может быть получен из графика функциис помощью симметрии относительно осих.
4) . Решая квадратное уравнение, учащиеся находятся его корни.
5) ,. Учащиеся усваивают, что- вершина параболы.
6) , если. Вводится понятие квадратичной функции.
Свойства квадратичной функции, если a>0
1) , так как значение квадратного трехчлена однозначно определено для любого действительного числа.
2) Убывает на луче (], возрастает на луче [)
у(х1) – у(х2) =…=а(х1 – х2) ((х1 – х0) + (х2 – х0)). Имеем а> 0, х1 > х2 х0. Тогда все три сомножителя в полученном выражении положительны. Это означает, что у(х1) – у(х2) > 0 , при а> 0 квадратичная функция является возрастающей на промежутке .
3) Точки пересечения с осями координат.
Если х = 0, то получим точку с координатами (0;с).
Если Д = 0, то - (х0; 0).
Если Д<0, то точек пересечения с осью абсцисс нет.
Если Д>0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формуле. Поэтому существует две точки пересечения с осью абсцисс, они имеют координаты (х1;0), (х2;0).
4) Ограничена снизу, не ограничена сверху.
5) не существует.
6) Функция непрерывна (дается поясняющее описание);
7) [)
Доказательство. Преобразуем квадратный трехчлен, выделив полный квадрат.
у = ах2 + вх + с = а(х2 + в/а х + с/а) = а ((х + в/2а)2 - ) = а(х –х0)2 + у0, где использованы обозначения, ,. Выражение (х –х0)2 может принимать любое неотрицательное значение в зависимости от х. Поэтому областью значений выражения а(х –х0)2 + у0 при всех действительных х является [).
8) Выпуклая вниз (первичное знакомство).
Аналогично рассматриваются свойства функции, если а < 0.
Вводится понятие «график функции».
Графиком функции является парабола с вершиной в точке, где,, и с ветвями, направленными вверх, еслиa>0, и вниз, если a<0. Прямая - является осью параболы.
Следует обратить внимание на алгоритм построения параболы, предложенный в учебнике А.Г. Мордковича.
Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось параболы.
Отметить на оси две точки, симметричные относительно оси параболы (чаще всего в качестве одной из таких точек берут точку), найти значения функции в этих точках; построить на координатной плоскости соответствующие точки.
Через полученные три точки провести параболу (в случае необходимости надо взять ещё пару точек, симметричных относительно оси параболы, и построить параболу по пяти точкам).
В упражнениях предлагаются задания: построить графики функций, найти наибольшее и наименьшее значения, указать промежутки возрастания и убывания функции; по графику функции определить, какой функции он соответствует, и перечислить свойства данной функции.