5.3. Основные этапы изучения уравнений в основной школе

В школьном курсе математики учащиеся сталкиваются с понятием уравне­ния на протяжении всего обучения. В зависимости от класса меняется как способ решения уравнения, так и его обоснование.

Впервые с уравнением учащиеся встречаются в начальной школе. Уравне­ния решаются подбором или с использованием правил нахождения неизвестных компонентов арифметических действий.

С 5 класса начинается систематическое изучение уравнений. Изучение уравнений в 5-6 классах имеет ряд отличительных особенностей: с одной стороны они рассматриваются как самостоятельные понятия, с другой стороны - ис­пользуются как служебные единицы для решения текстовых задач и формирования вычислительных навыков.

Метод введения понятия - конкретно-индуктивный.

Этапы введения понятия

Реализация этапов

Отыскание ярких практических при­меров, показывающих целесообразность данного понятия 2.Выявление существенных и несущест­венных признаков данного понятия, введение термина 3.Формулируется определение. Первичное (учащиеся); четкое определение(учитель); повторение определения (учащиеся) 4. Иллюстрация понятия конкретными примерами, модели понятия 5. Другие возможные определения

В учебнике Н.Я. Виленкина введение понятия уравнение начинается с задачи: На одной чашке весов находится арбуз и гиря в 6кг., а на другой - гиря в 15 кг. Весы находятся в равновесии. Найти массу арбуза. Математическая модель ситуации задачи : х + 6 = 15 Существенные признаки: равенство, содержит переменную Несущественные: в какой части стоит переменная, какой буквой обозначается Уравнение - это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Задания типа: Какие из выражений яв­ляются уравнениями: «2 + 3 = 5; 2 + х = 8; 5>3; а+8; 5в-3=2 и т.д.?» Учащиеся могут предложить ответ: «Равенст­во, в котором есть неизвестное число и др.»

В 5-м классе уравнения решаются на множестве натуральных чисел. Как и в начальной школе - основной способ решения - на основании зависимости между результатами действий и их компонентами. Поэтому в 5-м классе рассматриваются 6 простейших видов уравнений: а + х = в; а - х = в; х - а = в; х*а = в; х : а = в; а : х = в .

Образец рассуждений при решении уравнения (7 + х) - 15 = 21 (5 кл.)

1. Неизвестная буква входит в уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшае­мое необходимо к разности прибавить вычитаемое:

7 + х = 21 + 15;

7 + х = 36.

2. Теперь неизвестное входит в слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое: х = 36 - 7; х = 29.

С введением десятичных дробей учащиеся решают задачи на новом число­вом множестве: (8,5 -у) * 7,2 = 37,44 и др. После упрощения выражений вида 5х

+ 7х на основе распределительного закона решаются уравнения, в кото­рых требуются такие преобразования: (27х - 16х) : 11 = 3 и др. При решении таких уравнений отрабатываются навыки выполнения тождественных преобразований.

В процессе работы над понятиями «уравнение», «корень уравнения» полез­но включать задания творческого характера. Например: «составить уравнение, корнем которого было бы число 5» или «какое число можно подставить в уравне­ние 2х + * = 15 вместо *, чтобы число 6 было его корнем?»

В 6-м классе уравнения решаются на множествах Z и Q. Неизвестное мо­жет находиться в обеих частях уравнения. Появляются уравнения с модулем.

Для обоснования возможности переноса членов уравнения из одной части в другую используются свойство противоположных чисел (а + (-а) = 0) и весы: На левой чаше весов лежат арбуз и гиря в 6 кг, а на правой - 15кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза? Математическая модель ситуации: х + 6 = 15. Чтобы найти массу арбуза, снимем с левой чаши весов гирю в 6 кг, а чтобы не нарушать равновесия, необходимо снять 6 кг и с правой чашки :х + 6 – 6 = 15 - 6, то есть х = 15 - 6. Можно сказать, что мы слагаемое 6 перенесли из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Воспользоваться весами для ре­шения уравнения х - 5 = 9 уже нельзя. Воспользуемся свойством противополож­ных чисел: х-5 +5=9 + 5... .Затем рассматриваем уравнение 5х = 2х + 6 . Ре­шаем аналогично. После этого формулируется правило: слагаемые можно перено­сить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом их знаки. В этом же пункте учащиеся узнают, что корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю.

В 7 классе вводится понятие равносильности. При решении уравнений ис­пользуются свойства равносильности (1 и 2).

Основное внимание уделяется решению линейных уравнений с одной пере­менной. Естественно, что их учащиеся уже решали в 5 - 6 классах. Поэтому в курсе алгебры 7 класса знания обобщаются, проводится исследование ли­нейного уравнения ах + в = 0 в зависимости от параметров а и в: ах = - в

• при а - уравнение имеет единственное решение х = - в/а;

• при а = 0, в 0 - уравнение не имеет решений;

• при а = 0, в = 0 - уравнение примет вид 0х = 0, х - любое число.

При изучении темы «Многочлены» учащиеся используют разложение на множители для решения уравнений вида: ах² +вх = 0;

х²-а² = 0; х² + 7х + 6 = 0

(х² + 6х + х + 6 = 0; х(х + 6) + (х + 6) = 0; (х + 6)(х + 1) = 0 =>х = -6 или

х = - 1).

В 7-м классе рассматривается еще одно важное понятие «уравнение с двумя переменными» и вводится понятие «система линейных уравнений»

В 8-м классе изучаются квадратные уравнения и уравнения, содержащие переменную в знаменателе.

В учебнике определение квадратного уравнения вводится явно. «Уравнение вида ах² + вх + с = 0, где а0 называется квадратным уравнением». Желательно к этому определению подойти через конкретные задачи. Формулы корней квадратно­го уравнения необходимо вывести, используя выделение полного квадрата в трех­члене ах² + вх + с и сводящее уравнение к двучлену, а не давать учащимся в гото­вом виде. При этом учащиеся должны твердо усвоить, что дискриминант («разли­читель») позволяет узнать: есть ли корни у уравнения, а если есть, то сколько их. Кроме того, необходимо научить учащихся использовать формулу для случая, если в - четное, а также формулу корней приведенного квадратного уравнения.

Учащиеся должны владеть различными способами решения полного квад­ратного уравнения:

• Способ выделения полного квадрата.

• Через дискриминант по формуле корней.

• По теореме, обратной теореме Виета.

• Графическим способом.

Кроме того, учащиеся должны уметь решать неполные квадратные уравнения.

Для решения уравнений, содержащих переменную в знаменателе дроби, учащимся могут быть предложены два способа:

1 способ основан на использовании равенства дроби нулю:

2 способ опирается на условие равенства дробей с одинаковыми знаменате­лями:

В 9-м классе решаются дробно-рациональные, биквадратные уравнения. Рассматриваются графические способы решения уравнений с одной переменной, как один из примеров приближенного решения уравнений.

Графический способ решения уравнений состоит в следующем: «Дано урав­нение f(x) = g(x). Строим в одной системе координат графики у = f(x) и у = g(x). Отыскиваем абсциссы точек пересечения».

Возможность применения графического способа решения весьма ограниче­на, так как ограничен запас графиков функций, которые ученики могут строить, и степень точности нахождения корней. Кроме того, приходится подбирать такие графики, чтобы точки пересечения были в пределах рисунка.

Однако графический способ имеет и определенные преимущества: позволя­ет рассматривать решения таких уравнений, которые учащиеся на данном этапе не могут решить аналитическим способом. Даже если корни являются числами большими по модулю, то с помощью схематических рисунков удается установить число корней, их знаки, вычленить те отрезки числовой оси, где эти корни могут находиться. Эти исследования полезны для подготовки к изучению функций.

Использование графического способа полезно и в устной работе с учащими­ся.

Пример. Выяснить, сколько корней имеет уравнение и определить их знаки: х² = - 6х; - Зх² = -10/х; х⁴ = х + 13; = -Зх и др.

Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным обра­зом при изучении алгебраического способа решения сюжетных задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, широко применяемым в приложениях математики.

В настоящее время, ведущее положение в приложениях математики занима­ет математическое моделирование, включающее в себя: 1) построение модели, 2)исследование модели, 3)анализ полученных результатов и перенос их на объект изучения.

В методике обучения математике выделены четыре основных этапа процес­са решения математической задачи:

• осмысление текста задачи и анализ ее содержания;

• осуществление поиска решения и составления плана решения;

• реализация плана решения;

• анализ найденного решения, поиск других способов решения.

При работе с сюжетной задачей на первом этапе предполагается первона­чальная работа с целью понимания сюжета, выявления величин, которыми описы­вается ситуация, установление различных зависимостей между этими величинами, определение отношений, заданных условием задачи. Результаты такого предвари­тельного анализа часто бывает удобно зафиксировать в схематической записи («краткой модели») текста задачи.

Второй этап работы над задачей является самым трудным для учащихся. Его результатом должна служить математическая модель ситуации. При решении задачи алгебраическим методом - это уравнение или система уравнений.

Третий этап предполагает исследование математической модели (решение уравнения или системы); перенос результатов исследования математиче­ской модели в заданную ситуацию; запись ответа.

На четвертом этапе работы с сюжетной задачей можно предложить другие варианты решения (другое уравнение или систему, арифметический способ реше­ния).

Мы видим, что процесс решения сюжетной задачи - это теоретической ис­следование, представляющее собой процесс математического моделирования.

Решение сюжетных задач с помощью уравнений - один из центральных во­просов методики алгебры. Выделим некоторые его аспекты: «Как научить учащихся составлять уравнение по тексту задачи? », «Какие при этом возможны эвристические схемы рассуждения?»; «Как кратко записать задачу?»; «Как использовать графические ил­люстрации?»; «Как провести подготовительную работу по решению задач методом уравнений?»; «Нужна ли проверка при решении сюжетных задач?». Эти вопросы иссле­довали ученые-методисты, учителя (Д. Пойа, Л.М. Фридман, В.П. Радченко и др.)

Предложим некоторые эвристические «правила», помогающие составлять уравнение по тексту задачи.

Правило Коши: для того, чтобы составить уравнение, надо обозначить неиз­вестное буквой, например х, и произвести с ним и с данными величинами все вычис­ления, которые выполняются при проверке правильности решения. Именно так ведется поиск решения сюжетной задачи с помощью анализа Евклида.

Правило Ньютона: для составления уравнения нужно условие задачи пере­вести с естественного на алгебраический язык.

Правило сравнения: необходимо составить два разных алгебраических вы­ражения для одной и той же величины и поставить между ними знак равенства.

Каждое из этих правил с определенной стороны характеризует процесс со­ставления уравнения по условию задачи. Но применять их ученику, который не умеет составлять уравнения, довольно трудно. Поэтому полезно сооб­щить ему эти правила на более позднем этапе обучения методу составления уравнений.

Приложение 1

Местo уравнений и неравенств в школьной программе

Этап	Класс	Темы программы
Пропедевтический (начальная школа и курс математики 5-6 классов основной школы)	1 -4 5 6	Обозначение неизвестных компонентов действий через переменную и отыскание их на основе свойств действий. В теме 1. Натуральные числа. Сложение и вычитание натуральных чисел. Решение линейных уравнений на основе зависимости между компонентами действий (сложение и вычитание). В теме 2. Умножение и деление натуральных чисел. Решение линейных уравнений на основе зависимостей между компонентами (умножения и деления). В теме 6. Действия с рациональными числами. Общие приемы решения линейных уравнений с помощью простейших преобразований выражений. Составление уравнения для решения текстовых задач.
Основной (курс алгебры 7-9 классов основной школы)	7 8 9	1. Уравнения. Основные понятия, линейное уравнение с одним неизвестным. Решение задач методом уравнений. 6. Системы линейных уравнений. Решение задач методом составления систем уравнений. 3. Квадратные уравнения. Решение рациональных уравнений. Решение задач, приводящих к квадратным и рациональным уравнениям. В теме 4. Неравенства. Линейное неравенство с одной переменной. Система линейных неравенств с одной переменной. В теме 1. Квадратичная функция. Решение неравенств второй степени с одной переменной. Решение рациональных неравенств методом интервалов. 2. Уравнения и системы уравнений. Целое уравнение и его корни. Решение уравнений 3-й и 4-й степени с одним неизвестным с помощью разложения на множители и введения вспомогательной переменной. Уравнение с двумя переменными и его график. Решение систем уравнений 2-й степени с двумя переменными. Решение текстовых задач методом составления систем.

Приложение 2

Знания и умения учащихся по теме «Уравнения»

Общие категории целей	I уровень	II уровень	III уровень
Знание	Ученик знает
Запоминание и воспроизведение изученного материала	Общие и специальные терми­ны, обозначающие виды уравнений и неравенств и процесс их решения, формулы и алго­ритмы решения простейших уравнений, неравенств и их систем и их запись, частные приемы решения текстовых задач с помощью уравнений.	Определения видов уравнений и неравенств, формулировки их общих и различных свойств, общие методы и обобщенные приемы их решения и проверки, способы записи, общий прием решения текстовых задач методом уравнений.	Обоснование методов и приемов решения уравнений, неравенств, их систем и совокупностей, общие, специ­альные и искусственные прие­мы их решения и решения задач методом уравнений и неравенств, приемы их переноса.
Понимание	Ученик
Готовность к преобразованию изученного из одной формы в другую, к его интерпретации	Правильно воспроизводит термины, формулировки формул, правил, алгоритмов и частных приемов решения простейших уравнений и неравенств, формулировку задач «решить уравнение».	Интерпретирует методы и приемы решения уравнений, неравенств и систем, используя блок-схемы, графи­ки, числовую ось, приводит контрпримеры, подводит уравнение к тексту задачи.	Имеет представление об уравнениях и неравенствах как моделях разнообразных задач, выделяет идеи обоб­щенных методов и приемов их решения и связи между ними.